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Conjugué

Nombre complexe associé à un nombre complexe, et dont la partie imaginaire est opposée à celle de ce nombre
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Conjugaison (homonymie).

En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z mais de partie imaginaire opposée.

DéfinitionModifier

Le conjugué   d'un nombre complexe  , où a et b sont nombres réels, est noté[1],[2]   ou  .

Dans le plan, le point d'affixe   est le symétrique du point d'affixe   par rapport à l'axe des abscisses.

Le module du conjugué reste inchangé.

On peut définir une application, appelée conjugaison, par

 

Cette application est ℝ-linéaire et continue. C'est de plus un isomorphisme de corps de ℂ dans lui-même.

PropriétésModifier

On prend  .

  •  
  •  
  •   si w est non nul
  •   si et seulement si  
  •  
  •  
  •   pour z non nul.

QuaternionsModifier

Le conjugué du quaternion   est  .

PropriétéModifier

  •  
  •  
  • On peut calculer aisément l'inverse d'un quaternion en utilisant les propriétés du quaternion conjugué.

Algèbre linéaireModifier

L'opération de conjugaison peut s'étendre aux espaces vectoriels complexes et à leurs éléments. Elle permet de former des espaces vectoriels conjugués.

Notes et référencesModifier

  1. Norme ISO 80000-2 : z principalement en mathématiques, z* principalement en physique et sciences de l'ingénieur.
  2. z se lit « z barre ».