Conjugaison topologique

En mathématiques, et plus particulièrement dans la théorie des systèmes dynamiques, deux fonctions et sont dites topologiquement conjuguées (ou simplement conjuguées lorsqu'il n'y a pas de risque de confusion avec, par exemple, la conjugaison complexe) s'il existe un homéomorphisme tel que (où note la composition des fonctions). Deux fonctions conjuguées ont les mêmes propriétés dynamiques (par exemple le même nombre de points fixes), d'où l'importance de cette notion dans l'étude en particulier des suites définies par itération.

Définitions et propriétés généralesModifier

Dans tout ce qui suit,  , et   notent des applications continues entre des espaces topologiques   et  .

  est semiconjuguée (topologiquement) à   s'il existe une surjection   telle que  .

  et   sont topologiquement conjuguées si   est bijective, et si la bijection réciproque  est également continue, autrement dit si   est un homéomorphisme ; on dit dans ce cas que   conjugue   et  , et on a  .

Si  , la conjugaison est une relation d'équivalence, puisque   (où   est l'identité de  ),   et  .

La conjugaison s'étend aux itérées d'une fonction, puisque  .

Si   et   sont conjuguées par  , et si   est un point fixe de   (donc si  ), alors  , et donc   est un point fixe de   ; plus généralement,   est une bijection entre les points fixes de   et ceux de  .

Si une suite   d'éléments de   est définie par  , la suite   définie par   et le même schéma de récurrence   vérifie (pour tout  )  , et donc la même périodicité que la suite   ; de plus, les applications étant continues, si la suite   converge vers  , alors la suite   converge vers  .

ExemplesModifier

  • L'application logistique  , l'application de Mandelbrot   et l'application de la tente   sont conjuguées[1].
  • Les transformations de Möbius de la sphère de Riemann (distinctes de l'identité),   (avec  ) se répartissent en deux classes d'équivalence selon qu'elle sont conjuguées à une translation   (si ) ou à une homothétie   (si ) ; de plus, on peut conjuguer deux transformations de la même classe par une autre transformation de Möbius[2].

Équivalence topologiqueModifier

On a une définition analogue pour les flots : si   est un flot sur  ,   un flot sur   et   une application continue de   vers  ,   est semiconjuguée (topologiquement) à   si   est une surjection telle que   pour tous  ,   ;   et   sont alors topologiquement conjugués si h est un homéomorphisme.

Pour les flots, on définit également une notion plus faible :   et   sont topologiquement équivalents s'il existe un homéomorphisme  , envoyant les orbites de   vers les orbites de   et préservant leurs orientations. Plus précisément, si   est une orbite, on doit avoir pour tout  

 ,

et les flots doivent être (localement) de même sens : pour tout  , il existe   tel que, si  , et si s vérifie  , alors  .

Des systèmes d'équations différentielles à deux dimensions ayant des orbites fermées (le cas non-hyperbolique) ne sont en général pas topologiquement conjugués, car il n'est pas possible d'avoir les mêmes périodes sur chaque orbite dans les deux systèmes (autrement dit, les trajectoires sont déformables les unes dans les autres, mais pas les orbites) ; c'est la raison pour laquelle on a introduit l'équivalence topologique.

Équivalence lisse et équivalence orbitaleModifier

Des notions d'équivalence plus fines peuvent être définies si les flots   et   proviennent d'équations différentielles : deux systèmes dynamiques définis par les équations différentielles   et  , sont dits équivalents de façon lisse (smoothly equivalent) s'il existe un difféomorphisme   tel que

 

Dans ce cas, on peut transformer le premier système par le « changement de coordonnées »   pour obtenir le second.

Deux systèmes dynamiques sur le même espace d'états, définis par   et  , sont dits équivalents pour les orbites (orbitally equivalent) s'il existe une fonction à valeurs positives,  , telle que  . Des systèmes équivalents pour les orbites ne diffèrent que par la paramétrisation par le temps.

Ces deux notions d'équivalence sont plus fines que l'équivalence topologique. Par exemple, les systèmes linéaires réels de dimension 2 de la forme   sont caractérisés par les valeurs propres de la matrice  . En particulier, les systèmes pour lesquels ces valeurs propres sont complexes et de partie réelle positive ont des foyers instables, autour desquels les trajectoires s'enroulent en spirales ; tous ces systèmes sont topologiquement équivalents, mais non équivalent pour les orbites ou de façon lisse, la condition pour ces dernières équivalence étant que les valeurs propres soient les mêmes[3].

Un exemple d'applicationModifier

La méthode de Newton appliquée au calcul de la racine carrée de   (méthode de Héron) amène à étudier la suite définie par  , avec   ; or   est conjuguée à   par   (avec  ) ; on en déduit que la suite   vérifie la récurrence  , donc   et finalement la formule explicite  , qui converge très rapidement vers   si  [2].

Voir aussiModifier

RéférencesModifier

  1. (en) K.T. Alligood, T. Sauer et J.A. Yorke, Chaos: An Introduction to Dynamical Systems, Springer, (ISBN 0-387-94677-2), p. 114–124
  2. a et b Démonstrations à l'usage d'élèves de classes préparatoires.
  3. (en) Yuri A. Kuznetsov, Elements of Bifurcation Theory, Springer, , 2e éd. (ISBN 0-387-98382-1)