Classe de Stiefel-Whitney

En topologie algébrique, les classes de Stiefel-Whitney sont des classes caractéristiques associées aux fibrés vectoriels réels de rang fini.

Elles constituent donc un analogue réel des classes de Chern dans le cas complexe.

Elles portent les noms de Eduard Stiefel et de Hassler Whitney.

Toute classe caractéristique associée aux fibrés vectoriels réels apparaît comme un polynôme en les classes de Stiefel-Whitney.

Axiomatique

Les classes de cohomologie singulière à coefficients dans l'anneau ℤ/2ℤ de tout fibré vectoriel $\xi =E\rightarrow B$,

$w_{n}(\xi )\in H^{n}(B;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )~(n\in \mathbb {N} ),$

sont déterminées de façon unique par les axiomes suivants :

• $w_{0}(\xi )=1$ et $w_{n}(\xi )=0$ pour n strictement supérieur à la dimension des fibres ;
• si $f:B'\rightarrow B$ est une application continue, alors $~f^{*}(w_{n}(\xi ))=w_{n}(f^{*}(\xi ))$, où $f^{*}(\xi )$ désigne le pull-back de ξ par f ;
• si l'on note $w(\xi )=1+w_{1}(\xi )+w_{2}(\xi )+\ldots$, alors $w(\xi \oplus \xi ')=w(\xi )\smile w(\xi ')$ où $\oplus$ désigne la somme de Whitney et $\smile$ le cup-produit ;
• $w_{1}(\gamma ^{1})$ est l'élément non nul de $H^{1}(\mathbb {R} P^{1};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$, où $\gamma ^{1}$ désigne le fibré en droites tautologique sur ℝP¹.

La dernière condition assure que les classes ne sont pas triviales. En effet, si l'on retirait cette condition, on pourrait poser $w_{i}(\xi )=0$ pour tout i > 0.

Conséquences

• Si $\xi$ est isomorphe à $\eta$, alors $w_{n}(\xi )=w_{n}(\eta )$.

• Le deuxième axiome assure aussi que les classes de Stiefel-Whitney d'un fibré trivial sont nulles (sauf celle d'indice 0). En effet un fibré trivial est isomorphe au produit fibré d'un fibré sur le point et la cohomologie d'un point est triviale en dimension strictement positive.

• Le troisième axiome implique que la somme d'un fibré avec un fibré trivial ne change pas ses classes de Stiefel-Whitney. Par exemple la somme du fibré tangent de Sⁿ avec le fibré normal (qui est un fibré trivial) est un fibré trivial et donc ses classes de Stiefel-Whitney sont nulles pour n > 0.

Application

Si B est homotopiquement équivalent à un CW-complexe, alors un fibré vectoriel E → B est orientable si et seulement si $w_{1}(E)=0$.

Au-delà, un fibré vectoriel orienté sur une variété X admet une structure spinorielle si et seulement si $w_{2}(E)=0$, et dans ce cas les différentes structures spinorielles sont en correspondance bijective avec $H^{1}(X,{\mathbf {Z} }_{2})$.

Bibliographie

(en) John Milnor et James Stasheff, Characteristic Classes, Princeton University Press, coll. « Annals of Mathematics Studies » (n^o 76), 1974 (lire en ligne)

Article connexe

Invariant de De Rham (en)