Champ vectoriel fondamental

En géométrie différentielle, un champ vectoriel fondamental est un certain type de champ vectoriel sur un fibré principal.

Définition

Soient :

• $G$, un groupe de Lie ;
• ${\mathfrak {g}}:=\mathrm {Lie} (G):=T_{e}G$, l'algèbre de Lie de $G$ ;
• $B$, une variété différentielle ;
• $\pi :P\to B$, un $G$-fibré principal sur $B$ ;
• $\Phi :G\to \mathrm {Diff} (P);\lambda \mapsto \Phi _{\lambda }$, l'action à droite de $G$ sur $P$ ;
• $\Phi _{*}|_{e}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(P)$, l'action de groupe infinitésimale $G$ sur $P$.

Définition

À tout $\xi \in {\mathfrak {g}}$ correspond, via $\Phi _{*}|_{e}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(P)$, un champ vectoriel fondamental sur $P$ :

$\xi ^{\bullet }:=\Phi _{*}|_{e}(\xi )\in {\mathfrak {X}}(P)$.

Remarque

On peut aussi écrire un champ vectoriel fondamental en $a\in P$ comme :

$\xi ^{\bullet }|_{a}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\Phi _{\exp(t\xi )}(a)$.

Remarque

La distribution verticale $V\subset TP$ est engendrée point par point par les champs vectoriels fondamentaux.

Plus précisément, en tout $a\in P$ on a :

$V_{a}=\mathbb {R} \langle \xi ^{\bullet }|_{a}:\xi \in {\mathfrak {g}}\rangle$.

Remarque

La notion de champ vectoriel fondamental sur un fibré principal se retrouve dans un des axiomes définissant la notion de forme de connexion via $A(\xi ^{\bullet })=\xi$.

Remarque

Les champs vectoriels fondamentaux satisfont :

$[\xi _{1}^{\bullet },\xi _{2}^{\bullet }]=-[\xi _{1},\xi _{2}]^{\bullet },\qquad \forall \xi _{1},\xi _{2}\in {\mathfrak {g}}$ ;

$(\Phi _{\lambda })_{*}(\xi ^{\bullet }|_{a})=(\mathrm {Ad} _{\lambda }^{-1}\circ \xi )^{\bullet }|_{a\cdot \lambda },\qquad \forall \lambda \in G,\;a\in P,\;\xi \in {\mathfrak {g}}$.

Bibliographie

(en) Shoshichi Kobayashi (en) et Katsumi Nomizu (en), Foundations of Differential Geometry, 1963