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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Champ.

Un champ est une application qui associe aux points d'un objet, généralement multidimensionnel, des valeurs scalaires, vectorielles ou tensorielles.

Sommaire

HistoireModifier

Le mot polysémique issu du latin campus donnant le français camp et champ a eu un usage d'abord militaire, par le « champ de bataille » et le terrain servant à l'exercice, dès le XIe siècle.
Un début de polysémie identique arrive à la même époque pour l'activité agricole « terrain » et « champ ».
Après les arpenteurs et les géographes décrivant les fonds marins et fluviaux pour une navigation plus sûre après le milieu du XVIIIe siècle, les cartographes (comme Cassini et Haxo en France dans le Génie militaire) se soucient de la représentation sur un plan des pentes naturelles des terrains. Les contours topologiques des montagnes et vallées sont projetés sur un plan, dans une première époque en exprimant les lignes de plus forte déclivité avec des cotes (susceptibilité d'avoir un fort impact de la gravité terrestre sur les choses naturelles ou édifiées à cet endroit), puis par des courbes de niveau exprimant une altitude constante. Une carte comporte alors plus que l'expression de la qualité du terrain, de plat à pentu[1].
Par extension le terme champ s'est appliqué à la science optique par le « champ de vision » au milieu du XVIIIe siècle puis à la physique en général. Il s'est appliqué à la science de l'électricité et du magnétisme avec le « champ électrique », le « champ magnétique » puis le « champ électro-magnétique » qui sont utilisés au passage du XIXe siècle au XXe siècle, et enfin le « champ électrostatique » et le « champ tournant ». En mathématique associée à la physique le champ scalaire apparaît au milieu du XXe siècle. Dans les domaines des sciences du langage et de la personne les « champ sémantique » et autres sont apparus après le milieu du XXe siècle[2].

Vision physique et vision mathématique des champsModifier

La notion de champ est d'origine physique, et elle sert à décrire des quantités variant en fonction de leur point de définition : champ de température, champ de densité, champ de vitesse, champ de forces, champ de pression, champ de gravitation, champ électrique, champ magnétique.

Comme la physique s'intéresse à des phénomènes d'observation, un des fondements de l'étude des champs en physique est la notion suivante de symétrie : quel que soit le choix du système de coordonnées qu'on choisit pour faire une description analytique, les phénomènes physiques ne changent pas.

Cette notion permet aux mécaniciens et aux physiciens de faire une différence entre vecteurs et pseudo-vecteurs. Les seconds changent de sens avec l'orientation de l'espace, et du point de vue mathématique, une vision simple consiste à définir les pseudo-vecteurs comme un couple formé d'un vecteur et d'un signe, + ou -, avec une relation d'équivalence  , le signe étant caractéristique de l'orientation de l'espace. Une vision plus savante dira qu'un pseudovecteur est une densité, c'est-à-dire un tenseur d'une espèce particulière.

Plus généralement, que ce soit en mécanique classique ou relativiste, on a besoin de prendre des coordonnées curvilignes. La notion de covariance d'un champ exprime précisément que la physique est indépendante du choix de coordonnées. Il sera donc implicite pour un physicien qu'un champ est covariant.

Mais les mathématiciens décomposent ces notions, et en particulier ils ne posent pas d'entrée de jeu qu'un champ satisfait des propriétés de symétrie et, en particulier, de covariance. En revanche, ils vont prendre de multiples précautions pour décrire un champ dans le cas non scalaire, c'est-à-dire vectoriel ou tensoriel, dans le but de construire des notions intrinsèques, c'est-à-dire indépendantes du choix de coordonnées.

Ainsi, si   est un ouvert de l'espace  , un champ scalaire est une application de   dans  , et un champ vectoriel ou champ de vecteurs est une application de   dans  . Enfin un champ de tenseurs est une application de   dans l'espace vectoriel des applications  -linéaires de   dans  . Dans cette dernière définition,   est un espace de dimension  ,   est son dual, il y a j facteurs   et   facteurs  , avec bien sûr  .

Il existe des versions complexes de cet ensemble de définitions : il suffit de remplacer   par   dans les ensembles d'arrivée.

Champ scalaireModifier

Il n'y a guère de difficulté à concevoir un champ scalaire, à partir d'un exemple physique : la température dans une cuisine. Il fait chaud à côté des radiateurs en hiver, et à côté des appareils de cuisson, quand ils fonctionnent. Il fait chaud aussi près d'une casserole chaude, ou d'une cafetière qui vient d'être remplie. Mais il fait froid dans les assiettes où on vient de poser deux boules de glace. En revanche, il fait chaud derrière le frigo. N'oublions pas que s'il y a des gens, l'air chauffe au contact de leur peau, et de leur vêtement, sauf par un jour de canicule.

La température est bien un nombre qui varie en fonction du lieu et du temps.

Champ de vecteurs tangents sur une surfaceModifier

L'exemple physique le plus simple d'un champ de vecteurs tangent est celui d'un champ de vitesses : si des particules se déplacent sur une surface qui n'est pas plane, leurs vitesses sont tangentes à la surface. En supposant ces particules si fines et si nombreuses qu'on puisse les représenter par un modèle continu, leurs vitesses moyennes dans de très petits volumes donnent une bonne idée de ce que serait un champ de vecteurs tangent à la surface.

Avant de développer la notion de champ sur une variété abstraite, il faut étudier un cas concret : un champ de vecteurs tangent sur une surface   plongée dans  . Localement, elle peut être paramétrée par trois fonctions continûment différentiables  , avec   dans un ouvert   de  .

Notons pour simplifier

 .

Les   forment donc un champ de vecteurs à 3 composantes sur  .

Le plan tangent en   est engendré par les vecteurs

 

si ces deux vecteurs sont indépendants. On fait cette hypothèse systématiquement. Cette condition porte sur la nature de la description par les fonctions   de   et  .

Par conséquent, un vecteur tangent en   à la surface est une combinaison linéaire de la forme

 

Les coordonnées locales d'un champ tangent à la surface   sont donc un couple de deux nombres   et  .

Si localement,   admet un autre paramétrage  , avec   dans un ouvert  , on note ρ le champ de vecteurs de coordonnées ξ, η, ζ.

Un champ de vecteur tangent aura pour coordonnées   et   dans ce choix de coordonnées locales.

Supposons, de plus, que l'image   par   de   recoupe l'image   par   de  . Il est alors légitime de se demander comment sont reliées les coordonnées   et les coordonnées  .

On montre, au moyen du théorème des fonctions implicites que l'identité

 

avec les conditions

  sont des vecteurs indépendants

et

  sont des vecteurs indépendants

implique l'existence locale d'un difféomorphisme entre   et  .

Plus précisément, pour tout choix de   et   satisfaisant la relation  , on peut trouver deux voisinages ouverts respectifs de   et  ,   et  , et deux applications continûment différentiables   de   dans   et   de   dans   tels que la relation

 

implique

 

Si un champ tangent a pour coordonnées   dans   et   dans  , alors on peut écrire l'identité

 

On différentie la relation   par rapport à   et  , et on obtient, grâce au théorème de dérivation des fonctions composées :

 

et si on substitue ces identités dans la relation donnant les deux représentations du champ de vecteurs, on trouve

 
 

On a simplement utilisé le fait que   et   forment une base.

Une autre manière de noter la relation entre   et   consiste à utiliser la matrice jacobienne

 

Avec cette notation, il vient

 .

On peut noter un peu différemment ce qui précède. Si on remplace   par   et   par  , et de même   par   et   par  , alors la formule du changement de carte ci-dessus devient

 

avec la convention de sommation des indices répétés ; on somme dans la formule ci-dessus, par rapport à  .

Le point de vue des physiciens est que la relation ci-dessus caractérise un champ de vecteurs tangents sur la surface  . Le point de vue des mathématiciens est un peu différents : il consiste à voir la surface   et la collection de ses plans tangents en chaque point comme un nouvel objet : le fibré tangent à  . Bien sûr, cela revient au même, il faut seulement être conscient de cette terminologie en lisant la littérature.

Champ de vecteurs cotangents sur une surfaceModifier

On considère encore la surface   du paragraphe précédent, mais au lieu de définir un champ de vecteurs tangents, on définit un champ de formes linéaires, agissant sur les vecteurs tangents. En d'autres termes, pour chaque   dans  , on définit une paire   de nombres réels, et on définit l'action de cette forme linéaire par

 

pour tout champ de vecteurs tangent de coordonnées  .

Comme précédemment, on peut se poser la question d'un changement de coordonnées locales. Supposons que dans les coordonnées  , le même champ de formes linéaires ait les coordonnées  . On doit alors avoir

 

pour tout champ tangent.

On suppose que   et   sont liés par la relation

 .

Un calcul élémentaire fournit alors

 

On constate que le changement de coordonnées pour les formes linéaires « va dans le sens contraire » du changement de coordonnées pour les vecteurs.

Les champs de formes linéaires sont aussi appelés, en particulier par les physiciens « vecteurs covariants », puisque le changement de variable va dans le même sens que la transformation   :   va des coordonnées grecques aux coordonnées latines, et le champ de formes linéaires en coordonnées latines s'exprime en fonction des coordonnées grecques et de la matrice jacobienne de  . En revanche, les coordonnées grecques d'un champ de vecteurs s'expriment en fonction des coordonnées latines de celui-ci et de la matrice jacobienne de  .

Si on adopte des notations indexée, avec   et   comme au paragraphe précédent, et en remplaçant respectivement   par   et   par  , la formule de changement de coordonnées devient

 ,

avec la convention de sommation des indices répétés.

Remarquons que la physique fournit une abondance de champs qui doivent être considérés comme cotangents. L'exemple le plus connu est le champ électrique, puisque, du point de vue dimensionnel, c'est une différence de potentiel par unité de longueur. De plus, il a les propriétés qu'on attend dans cette situation : c'est un vecteur qu'on peut intégrer agréablement le long d'une courbe de l'espace, en en prenant le produit scalaire avec le vecteur tangent. Cette propriété est caractéristique d'une forme différentielle de degré 1. Elle sera vérifiée pour tout champ dérivant d'un potentiel scalaire.

Les mathématiciens construisent un nouvel objet : on attache tous les espaces vectoriels de formes linéaires cotangentes à la surface   et on obtient ce qu'on appelle le fibré cotangent à  .

Champ de tenseurs sur une surfaceModifier

Maintenant qu'on a compris ce qu'est un champ de vecteurs et un champ de covecteurs sur une surface  , on peut définir un champ de tenseurs sur cette même surface, en considérant plusieurs exemples.

On commence par un cas très utile : un champ de tenseurs qui permet de décrire l'élément d'aire. On définit en chaque point de   une forme bilinéaire alternée   par son action sur les paires de vecteurs tangents. Il suffit pour cela de connaître l'action de   sur les deux vecteurs   et   :

 ,

  étant une fonction de   et  . À ce moment-là, si   désigne un champ de vecteurs tangent, pour   avec pour coordonnées   et  , on aura

 

La formule de changement de carte se déduit au moyen du raisonnement du paragraphe précédent : si en coordonnées grecques, la même forme bilinéaire est définie par

 

alors

 

la vérification étant immédiate.

On peut alors définir une mesure signée sur   en posant, pour   une partie mesurable de   que la mesure de   est donnée par

 

pourvu que   soit entièrement contenu dans un ouvert admettant la paramétrisation par  . Si ce n'est pas le cas, on découpe   en une réunion disjointe d'ensembles mesurables, chacun d'eux étant contenu dans l'image d'une représentation paramétrique. Les détails de ce découpage importent peu, en vertu des formules de changement de variable.

On remarque que si tous les changements de carte, c'est-à-dire les   ont des matrices de déterminant positif, et si les   sont tous positifs, la mesure ainsi définie est positive.

On passe maintenant à un autre cas pratique : des tenseurs symétriques contravariants et des tenseurs symétriques covariants.

Un tenseur symétrique covariant   est connu par son action sur les vecteurs de base :

 

les   étant des fonctions de   et  .

Le changement de carte respecte les principes précédents : si le même tenseur covariant a des coordonnées   dans les coordonnées latines, et on trouve

 

Ici le signe   en exposant désigne la transposition.

En particulier, si la matrice des coefficients de   est définie positive, il en est de même de la matrice des coefficients de  .

Prenons comme tenseur covariant celui qu'induit la topologie euclidienne, c'est-à-dire :

 

Dans ce cas, la longueur d'un vecteur tangent, dont on connaît les coordonnées locales   et   est donnée par  .

On peut aussi définir un tenseur symétrique contravariant, qui servira à mesurer la longueur des vecteurs cotangents. On remarque qu'il est possible de transformer un vecteur tangent en vecteur cotangent à l'aide du tenseur métrique covariant. Il suffit de poser  , et on vérifie facilement que les changements de variable se font dans le sens covariant.

Il serait commode dans ce cas que la longueur de   mesurée à l'aide du tenseur métrique contravariant soit égale à la mesure de   par le tenseur métrique covariant, et cela revient à écrire

 

et comme cette relation doit avoir lieu pour tout choix de vecteur tangent de coordonnées  , cela revient à demander l'identité matricielle  , qui revient à imposer que la matrice du tenseur   soit l'inverse de la matrice du tenseur  .

Une fois   ainsi défini, on vérifie immédiatement que le changement de carte est donné par

 

L'élément de volume peut être, lui aussi, déduit du contexte euclidien. Il suffit de poser

 

en notant   le produit vectoriel ordinaire.

On peut définir un tenseur de n'importe quelle variance sur la surface  . Par exemple un tenseur deux fois covariant et une fois contravariant sur   sera en chaque point de   une application trilinéaire du produit de l'espace tangent par deux copies de l'espace cotangent dans  . Notons la base de l'espace tangent   et définissons une base de l'espace cotangent par  .

À ce moment-là, un tenseur   une fois contravariant et deux fois covariant est défini par son action sur tout triplet  , donc par le tableau de nombres

 

et la formule du changement de cartes peut être écrite

 

en utilisant la convention de sommation des indices répétés, c'est-à-dire en sommant dans le deuxième membre par rapport à   et  .

Champs sur des variétésModifier

La définition de champs sur des variétés est une généralisation des définitions et des calculs précédents.

La plupart des variétés différentielles dont on se sert en pratique peuvent être plongées dans un espace de dimension finie (Théorème de Whitney), mais on peut se représenter une variété abstraite comme suit : elle est formée de morceaux ouverts de l'espace  , avec des lois de recollement. Plus précisément, on se donne des ouverts   de  , et pour toute paire   d'indices distincts des applications lisses   allant d'un ouvert   de   dans un ouvert   de  , sous les conditions suivantes :

  1.   est l'application identité de   ;
  2.   est l'application identité sur son ensemble de définition pour tout triplet d'indices distincts   et  .

On définit alors une relation d'équivalence sur la réunion disjointe des   en posant

 

si   ou si   et   appartiennent respectivement a   et   et l'on a la relation  .

En d'autres termes, les   sont des morceaux de caoutchouc, on doit coller la languette   sur la languette   en appliquant chaque point   sur un point  . Bien sûr il faut que tout ceci reste compatible là où il y a collage de trois languettes ensemble (ou plus), et cela est assuré par la deuxième relation.

La réflexivité et la symétrie de cette relation sont immédiate ; pour la transitivité, il faut remarquer que si   et  , alors la deuxième condition sur les   implique que  .

La variété abstraite est alors simplement le quotient de la réunion disjointe des   par cette relation d'équivalence.

Pour passer au fibré tangent, et donc définir des champs tangents, on peut se contenter de considérer la réunion disjointe des   et la relation d'équivalence   s'il y a égalité ordinaire ou si   est dans  ,   dans  ,  . C'est une relation symétrique et réflexive. On obtient la transitivité en différentiant la relation  .

Pour passer au fibré cotangent, on part aussi de la somme disjointe des  , mais cette fois-ci la relation d'équivalence entre   et  , avec   et   des formes linéaires, impose  .

On laisse au lecteur le soin d'imaginer ce qui se passera avec un tenseur de n'importe quel ordre, c'est-à-dire une forme  -linéaire,   fois contravariante et   fois covariante, ou de se reporter à l'article tenseur.

  1. in Georges Alinhac, Historique de la cartographie, éditeur Institut géographique national, 1986.
  2. champ, CNRTL.