Cap-produit

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, le cap-produit est une opération binaire qui permet d'assembler des chaînes et des cochaînes. Elle a été introduite par Eduard Čech en 1936 et indépendamment par Hassler Whitney en 1938.

DéfinitionModifier

Soit X un espace topologique et A un anneau. Le cap-produit est une application bilinéaire définie sur les chaines et les cochaines singulières

 

en posant

 

avec   et   et où   est la restriction de l'application simpliciale   à la face engendrée par les vecteurs  .

PropriétésModifier

  • On a la formule  .

Elle implique que le cap-produit d'un cycle avec un cocycle est un cycle ; le cap-produit d'un cycle et d'un cobord est un bord ; et le cap-produit d'un bord et d'un cocycle est un bord.

Ceci permet de définir un cap-produit en homologie et cohomologie :

 
  • Le cap-produit et le cup-produit sont reliés par la relation  ,  

Dualité de PoincaréModifier

Théorème —  Si M est une variété fermée orientable de dimension n de classe fondamentale (en)  , alors l'application   définie par   est un isomorphisme pour tout k.

RéférenceModifier

(en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, CUP, , xii+544 p. (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne), p. 239-241