Calculs relativistes

Cet article sur les calculs relativistes se veut volontairement calculatoire pour montrer que l'essentiel peut se déduire par le calcul des transformations de Lorentz.

Les transformations de LorentzModifier

Considérant un cas particulier de changement de référentiel pour introduire les calculs relativistes, soient deux référentiels   et   en translation rectiligne l'un par rapport à l'autre sur des axes parallèles, avec une vitesse relative   selon l'axe O .

Lorsque l'on passe du premier référentiel au second en se donnant les contraintes de la relativité restreinte (ie. invariance de c par changement de référentiel), les coordonnées sont nécessairement liées par la transformation de Lorentz[1] :

  avec   et  

Les transformations inverses   qui donnent les coordonnées dans R en fonction des coordonnées dans R' s'en déduisent en résolvant le système de deux équations à deux inconnues  

Il suffit de changer le signe de la vitesse dans les résultats, car les vitesses relatives entre les deux référentiels sont de normes égales et de signes opposés :

 
 

On a donc en écriture matricielle :

 .

Et inversement :  .

Ceci est la façon matricielle d'écrire une transformation de Lorentz.

En remplaçant  ’ et  ’ par leurs expressions données ci-dessus en fonction de   et  , on obtient   et  , ce qui signifie que les formules ci-dessus sont inverses l'une de l'autre ; les mathématiciens expriment cela en disant que cette propriété est une des propriétés requises pour que les transformations de Lorentz forment un groupe, la principale conséquence étant que la composition de deux transformations de Lorentz est une transformation de Lorentz. On verra dans le paragraphe relatif à la composition des vitesses une utilisation du groupe de Lorentz.

Si tout se déduit des transformations de Lorentz, en Relativité restreinte, il est souvent dit qu'il vaut mieux se fier aux résultats du calcul que de faire des raisonnements qualitatifs. Les transformations ci-dessus sont en effet identiques aux transformations de Galilée pour les vitesses usuelles, mais détruisent cependant la notion du temps universel, puisque celui-ci devient dépendant du référentiel : en relativité restreinte, le temps varie tout comme la position lors d'un changement de référentiel. En fonction des transformations appliquées, on trouvera des effets de contraction des longueurs et dilatation du temps (cf. ci-dessous).

Le temps, dans sa formalisation  , devient une coordonnée « comme une autre » pour exprimer les lois de la physique, et celles-ci deviennent covariantes lorsqu'on les exprime dans un espace à 4 dimensions ( ,  ,  ,  ). En remplaçant   par  , on ne fait que transformer les unités de temps de façon qu'elles soient exprimées en mètres plutôt qu'en secondes, mais il s'agit bien d'une coordonnée temporelle dans le référentiel d'étude d’évènements spatio-temporels (trois coordonnées d'espace et une de temps pour définir quand et où a lieu un évènement).

On va ci-dessous développer une page de calculs permettant de déduire les conséquences contre-intuitives en relativité restreinte.

La pseudonormeModifier

On repère un évènement par les coordonnées d'un vecteur dans un repère à 4 dimensions c temps-espace  .

On montre facilement que ce « quadrivecteur » obéit à la relation suivante :

 .

En effet :

 .

Cette quantité est la pseudonorme du quadrivecteur :  .

On a montré mathématiquement que cette quantité ne dépend pas du référentiel et constitue donc un invariant aux transformations de Lorentz, un invariant relativiste.

La dilatation des duréesModifier

Premièrement, il faut constater qu'au temps  ' correspond une infinité de temps dans  :  .

Pour simplifier, prenons  '=0 :  .

Pour le même temps  '=0 correspondent des temps t qui sont pour des   positifs dans le futur de   et pour des   négatifs dans le passé de  .

Soient deux référentiels,  , et   en translation rectiligne uniforme par rapport au premier référentiel suivant l'axe des   positifs à la vitesse  .

Une horloge au repos dans   au point  , mesure deux évènements dans   :   et   qui se produisent donc au même endroit et à des temps différents.

Selon les transformations de changement de référentiel,   et  . La durée entre deux évènements dans le référentiel   se produisant en   est : . La durée entre ces deux évènements dans le référentiel   est : .

En posant   la durée au repos, et   la durée observée dans le référentiel  , nous obtenons la formule dite de dilatation des durées :

 .

Ainsi, vu du référentiel   par deux observateurs situés en   et  , et qui ont synchronisé leurs horloges dans le référentiel  , la mesure de l'intervalle de temps n'est pas égale à celle mesurée par un observateur immobile situé en  :

La quantité   s'appelle temps propre . Comme  , on voit que la quantité   est un invariant relativiste.

Le facteur   qui intervient dans la dilatation des durées, a, pour un avion, une valeur approchée de 1 + v²/2c², soit 1+10^(-10) = 1,000 000 000 1. Quelques millisecondes sur un an de vol de supersonique ! La réalisation d'une mesure de la dilatation du temps, en comparant l'indication d'horloges demeurées au sol à l'indication d’horloges emportées sur un avion, a eu lieu aux États-Unis en 1972. Les chercheurs travaillant sur les particules produites dans les synchrotrons vivent quotidiennement l'effet de la dilatation du temps T= γ T'.

Et aujourd'hui, les horloges atomiques embarquées dans les satellites des systèmes GPS sont calibrées de façon que leurs indications soient compatibles avec des horloges restées sur Terre.

La contraction des longueursModifier

Nous nous plaçons dans les conditions évoquées au précédent paragraphe. Mesurer une longueur M1M2 revient à repérer dans un système de coordonnées les deux extrémités M1 et M2.

Cela ne pose pas de problème si celles-ci ne bougent pas dans le temps ; par contre si elles se déplacent à la même vitesse  , il faudra repérer ces deux extrémités simultanément.

Nous considérons donc une règle au repos dans  , de longueur   au repos. Les coordonnées de ses extrémités sont   et  . Les évènements de ses extrémités sont :   et  .

Considérons maintenant les évènements   et  , on obtient dans   :

 .

Déterminons   pour que ces évènements soient simultanés dans  , il faut que :

  soit :
 
 .

La longueur de la règle, observée dans le référentiel   s'exprime :

 .

Ainsi, la règle est plus courte dans le référentiel   que dans le référentiel   : la règle M1M2 en mouvement est plus courte lorsque la mesure de sa longueur est faite dans un référentiel dans lequel M1M2 est en mouvement.

Ainsi un coureur R' de 100 m va s'autochronométrer avec sa montre un temps propre de T'0 = 10 s sur une piste de L0 = 100 m dans R : pour le coureur, la piste qui défile à la vitesse   sous ses enjambées ne fait pas 100 m elle est contractée L' = L0/γ ; par contre pour le juge de piste la piste est immobile par rapport à lui ; elle fait L0 = 100 m en longueur propre et le temps est T = γT'0 c'est-à-dire dilaté.

Le coureur et le juge ne sont d'accord ni sur le temps ni sur la distance, mais sont d'accord sur la vitesse   = L'/T'0 = L0/T.

Bien sûr, aux vitesses d'un coureur de 100 m, toutes ces différences sont imperceptibles.

Les effets relativistes ne sont perceptibles qu'à l'échelle nucléaire ou à l'échelle galactique.

La composition des vitessesModifier

Nous savons, dans la vie quotidienne, que les vitesses s'ajoutent. Prenons un exemple concret, je prends le métro, et je marche à 5 km/h sur un tapis roulant allant dans le même sens à 4 km/h. Ma vitesse par rapport au sol est de 9 km/h. Nous allons voir comment obtenir la formule de composition des vitesses galiléenne, puis relativiste. Nous supposerons dans ce paragraphe que tous les déplacements se font parallèlement à un même axe.

Cas galiléenModifier

Les transformations de Galilée sont :

 .

En différenciant, on obtient :

 ,

ou encore:

 

le quotient donne :  , avec   et  , ce qui est la loi de composition classique: les vitesses s'ajoutent.

Cas relativisteModifier

Les transformations de Lorentz sont :

 ,

en différenciant, on obtient :

 ,

le quotient donne :

  Soit :   la loi de composition relativiste des vitesses : elles ne s'ajoutent pas.

Si u' = c, alors on obtient u = c. La vitesse de la lumière est la même dans les deux référentiels.

Utilisation du groupe de LorentzModifier

Soit   la matrice

 

avec   et  . Cette matrice, appliquée aux composantes   dans un référentiel   donne les composantes   dans le référentiel   par rapport auquel   se déplace avec une vitesse   :

 

Si on dispose d'un référentiel   se déplaçant par rapport au référentiel   à la vitesse  , alors les relations entre les composantes   dans le référentiel   et les composantes   dans le référentiel   sont données par :

 .

On a donc :

 .

La matrice produit   n'est autre que la matrice  , où   est la vitesse du référentiel   par rapport au référentiel  . On vérifiera que  , et donc que  , comme plus haut.

On se reportera au paragraphe ci-dessous pour le cas plus général où les vitesses   et   ne sont pas colinéaires.

Le quadrivecteur vitesseModifier

Transformation des vitessesModifier

On peut calculer une vitesse en formant le rapport d'une distance par un temps :

 
 

Ce sont les transformations sur les vitesses et l'on constate que les vitesses ne s'ajoutent pas : il ne faut pas appeler ces relations en utilisant le mot 'addition'.

Ces relations peuvent s'écrire différemment si on calcule :

 

soit: 

En posant   et   et  ,

l'égalité s'écrit  , qui est une des transformations de Lorentz si on considère le quadrivecteur

  est le quadrivecteur vitesse.

De même :

 
 
 

Ceci est la façon matricielle d'écrire une transformation de Lorentz sur les vitesses. où :

  est le quadrivecteur vitesse.

Ceci va avoir d'énormes conséquences en dynamique.

Utilisation des invariants:Pseudo-norme et Temps propreModifier

Considérons::  et   tous deux invariants.

 .

En relativité restreinte, nous avons un invariant qui a pour dimension une longueur (que nous appelons longueur propre) : Nous définissons le temps propre de la manière suivante: Nous obtenons :

 .

  est l'accroissement de temps mesuré dans un référentiel en mouvement avec une vitesse V par rapport à un référentiel   dans lequel l'accroissement de temps est dt. La quantité   ne dépend pas du référentiel   choisi. C'est un invariant relativiste.

Nous définissons alors naturellement la quadrivitesse :  

 

qui a une pseudo norme égale à c².

Le voyage dans le futur des autresModifier

Ou le paradoxe des jumeaux :

  • Rappelons ce paradoxe :

On considère deux jumeaux A et B. A entreprend un long voyage puis revient vers B. A est alors censé avoir vieilli moins que B. Un paradoxe est soulevé si, en se plaçant du point de vue de A, il considère que c'est B qui voyage et qui devrait avoir moins vieilli que lui. Par conséquent, il n'y a aucune raison de trouver une dilatation du temps de l'un par rapport à l'autre.

  • Pour lever le paradoxe, il faut repérer où se situe une dissymétrie :

B se situe dans un référentiel inertiel   et n'en change pas. Dans un premier temps, A se situe dans un référentiel inertiel   se déplaçant à la vitesse   par rapport à  , puis A fait demi-tour. Il change alors de référentiel inertiel et se trouve cette fois dans un référentiel inertiel   se déplaçant à la vitesse   par rapport à  .

  • La dissymétrie provient donc du fait que A change de référentiel inertiel, et pas B. Dans ce qui suit, on va illustrer par l'effet Doppler l'évolution des vies de A et de B. Nous verrons que lorsque A et B s'éloignent l'un de l'autre, l'effet Doppler des signaux qu'ils s'envoient l'un vers l'autre est identique (la fréquence des signaux est diminuée dans le même rapport). Lorsque A et B se rapprochent l'un de l'autre, il en est de même (la fréquence des signaux est augmentée dans le même rapport). Mais l'inversion de l'effet Doppler dépend uniquement de A, et B n'y joue aucun rôle. Ceci expliquera que, du point de vue de A ou de B, B a davantage vieilli que A.

On considère R' le référentiel du voyageur A qui se déplace à 3/5 c ce qui donne une dilatation du temps de

 
Si T0 est la durée du voyage dans R', dans R le voyage aller a duré T1 = γT0 = 5/4 années, en parcourant vγT0= 3/5×5/4 T0 année-lumière= 3/4 T0 a.l.

(a.l. signifie année-lumière ou distance parcourue par la lumière en un an)

Pour simplifier prenons un voyage de T0 = 1 an et pour moderniser le voyage, O et O' sont sous vidéo avec émission en continu.
Par effet Doppler, les émissions sont reçues au ralenti avec un facteur (1+v/c) = 8/5 qui combiné avec la dilatation du temps 5/4 donne
 

Il faut donc à chacun, et la situation est symétrique pour B en O et A en O', le double de temps pour visionner en « direct » la vie de l'autre tant que ni l'un ni l'autre ne modifie son mouvement.

  • Supposons que A s'arrête au bout d'un an, sans revenir.
Point de vue de A : Il a reçu 6 mois de la vie de B au ralenti en un an de son trajet et recevra la suite de vie de B avec un retard de 3/4 d'an à un rythme normal. La dernière minute des six mois de la vie de B, visionnée au ralenti par A, a été émise 3/4 d'an plus tôt : A sait donc que B a vécu 5/4 d'année depuis son départ, ce qui est bien la durée T1 du voyage de A dans le référentiel de B.
Point de vue de B : Après avoir reçu au ralenti le voyage aller de A en 2 ans, B reçoit la vie de A avec un retard de 3/4 d'an à un rythme normal. La dernière minute du voyage de A, visionnée au ralenti par B, a été émise 3/4 d'an plus tôt : B sait donc que le voyage de A a duré (dans le référentiel de B) 2 ans moins 3/4 année, soit 5/4 d'année, ce qui est bien la durée T1 du voyage de A dans le référentiel de B.
  • Supposons maintenant que A en O' fasse demi tour au bout d'un an temps propre pour lui :
Point de vue de A : Il n'a alors visionné que 6 mois de la vie de B situé en O et il lui reste à recevoir ce qui est sur les 3/4 a.l qui séparent O de O', soit 3/4 ans du vécu de B en O non visionné par A situé en O', auquel il faudra ajouter la durée de vie de B pendant le voyage retour de A, soit T1 = 5/4 ans de la vie de B. A recevra donc en accéléré, en un an de son voyage retour, 2 ans de vie de B en O, ce qui est bien conforme à une réception en accéléré due au fait que le voyage retour rapproche A et O. En effet :
 
A a donc voyagé pendant 2 ans et se retrouve avec B en O qui a vécu 6 mois + 2 ans = 2 ans et demi = 2T1.
C'est l'effet dilatation du temps.
Noter que A a fait demi tour dans un espace contenant des ondes qui se propagent vers B en O.
Point de vue de B : En O, il reçoit pendant 2 ans le voyage aller de A en O' et lorsque A fait demi-tour, il ne le sait pas encore. Lorsqu'il reçoit l'information que A en O' a fait demi tour il y a déjà 3/4 d'an que A voyage sur le retour et A sera dans 6 mois en O : B en O reçoit ce retour d'un an de la vie de A en accéléré en ces 6 mois. B aura mis 2 ans et 6 mois pour recevoir les « 2ans » de voyage de A.

Tous les premiers de chaque mois, A et B s'envoient mutuellement le rang du mois qui commence pour eux. Dans le tableau ci-dessous, on affiche dans la colonne de gauche le rang vécu par A et qu'il envoie à B, alors que la colonne de droite affiche les messages que perçoit A de la part de B. Pendant le voyage aller, la vie de B s'affiche deux fois moins vite, alors que pendant le voyage retour, la vie de B s'affiche deux fois plus vite.

Point de vue de A
Horloge de A
Visionnage de la vie de B
A s'éloigne de B et visionne la vie de B
au ralenti (deux fois moins vite)
1
1
2
1
3
2
4
2
... ...
10
5
11
6
12
6
A fait demi-tour.
Il se rapproche de B et visionne la vie de B
en accéléré (deux fois plus vite)
13
8
14
10
15
12
... ...
23
28
24
30

On peut procéder de même pour B. On prendra garde que A fait demi-tour au bout de 15 mois de B, mais que B ne le voit que 9 mois plus tard, le temps que le signal parvienne jusqu'à lui, donc au bout de 24 mois.

Point de vue de B
Horloge de B
Visionnage de la vie de A
A s'éloigne de B. B visionne sa vie
au ralenti (deux fois moins vite)
1
1
2
1
3
2
4
2
... ...
22
11
23
12
24
12
B voit que A fait demi-tour.
Il se rapproche de B et B visionne sa vie
en accéléré (deux fois plus vite)
25
14
26
16
27
18
28
20
29
22
30
24

Le temps est relatif : comme une coordonnée, il dépend du référentiel. La durée du voyage de A, égale à 2T0 est multipliée pour B par le facteur

 

Pour bien percevoir l'effet relativiste, il faut voir ce que donnerait le formalisme classique. Il suffit de supposer qu'au lieu de s'envoyer des messages électro-magnétiques, A et B s'envoient des messages sonores à intervalle régulier. Nous supposerons que le milieu dans lequel se déplacent ces ondes sonores coïncide avec le référentiel de B. Le facteur de l'effet Doppler demeure, mais au sens classique.

  • En ce qui concerne les messages émis de B vers A, A les perçoit à l'aller en ralenti avec le facteur  , et au retour en accéléré avec le facteur  , sans le facteur spécifiquement relativiste de dilatation du temps  . La longueur du trajet de A est 3cT0/5, soit 3/5 a.l. (nous gardons les mêmes unités même si elles ne sont plus vraisemblables pour faciliter la comparaison).
  • En ce qui concerne les messages émis de A vers B, B les perçoit à l'aller de A en ralenti avec le facteur  , et au retour de A en accéléré avec le facteur  .
Point de vue de A : Pendant le voyage aller d'un an (sic), A reçoit au ralenti la vie de B avec un facteur 1 - 3/5, soit 2/5 de la vie de B. Au retour, A reçoit en accéléré la vie de B avec un facteur 1 + 3/5, soit 8/5 de la vie de B. Au cours de ses deux ans de voyage, A a visionné 2/5 + 8/5 = 2 années de la vie de B.
Point de vue de B : B reçoit au ralenti une année de voyage de A, avec un facteur 1/(1 + 3/5)) = 5/8. À cet instant, A fait demi-tour, mais B ne le sait pas encore. Il le saura lorsque le signal émis par A lui parviendra, c’est-à-dire dans 3/5 d'année. B verra donc s'écouler 1 + 3/5 = 8/5 d'années pour visionner la totalité du voyage de A avant de le voir faire demi-tour. Ces 8/5 d'années correspondent bien à un an de la vie de A visionnée au ralenti avec un facteur 5/8. Lorsque B voit A faire demi-tour, A est déjà sur le chemin du retour depuis 3/5 d'année. Il lui reste donc 2/5 d'année à voyager. B, quant à lui, visionnera en accéléré la totalité du voyage retour avec un facteur 1/(1 - 3/5)) = 5/2. Ce visionnage du retour durera donc également 2/5 d'année, et B aura visionné 8/5 + 2/5 = 2 années de voyage de A.

L'aller et le retour de A ont duré chacun 1 an, A a vécu 2 ans. Et B a vécu 2 ans pour visionner les 2 ans du voyage de A : classique quoi ! Le temps est le même pour A et B : universel.

On peut regarder également le problème sous l'angle de la contraction des longueurs. A et B se mettent d'accord sur Terre que A s'en va vers une autre planète immobile par rapport à la Terre à une distance L = 3/4 d'année lumière et puis revienne sur Terre le tout à une vitesse v = 3/5 c. Du point de vue de B, A sera arrivé sur la planète en T = L/v = (3/4)/(3/5) = 5/4 d'année et le trajet aller-retour aura duré 2*T = 5/2 = 2,5 ans. Du point de vue de A, lorsqu'il sera à la vitesse  , il verra de son hublot la terre s'éloigner à la vitesse   et la planète se rapprocher à la vitesse  , par contre à cause de la contraction des longueurs, la planète sera désormais à une distance L0 = L / γ = (3/4)/(5/4) = 3/5 d'année lumière. Ainsi il sera arrivé sur la planète en T0 = L0/v = (3/5)/(3/5) = 1 année et le trajet aller-retour aura durée 2*T0 = 2 ans.

Forces et AccélérationsModifier

Le quadrivecteur accélérationModifier

De même que nous avons défini le quadrivecteur vitesse en différentiant le quadrivecteur position par rapport au temps propre, nous pouvons définir le quadri-vecteur accélération en différentiant le quadrivecteur vitesse par rapport au temps propre :

 

avec  

La transformation des accélérationsModifier

La transformation de Lorentz appliquée sur le quadrivecteur accélération dans un référentiel   permet d'en déduire le quadrivecteur accélération dans le référentiel  , et de calculer explicitement les transformations des composantes de l'accélération au sens classique. Notons   la ième composante de cette accélération dans le référentiel   et notons-la   dans le repère  . On obtient, en notant   la vitesse de   par rapport à   :

 
 
 

Lorsque   et   (vitesse et accélération parallèles), on a

 

Cette relation est importante car elle peut servir à obtenir la variation de la masse avec la vitesse et, donc,   [2].

Lorsque   et   (vitesse et accélération perpendiculaires), on a

 

Cette formule est utile pour un mouvement de rotation et sert pour l'obtention de la formule de Larmor relativiste.

Le mouvement uniformément accéléréModifier

Considérons un référentiel inertiel  . Supposons que M, particule de masse m0, se déplace sous l'effet d'une force constante F parallèle à   et que, pour   = 0, M soit en O avec une vitesse nulle. Sous l'effet de la force, la particule va être soumise à une accélération. Cependant, celle-ci ne saurait être constante, égale à  , sous peine de voir la particule atteindre puis dépasser la vitesse de la lumière. Quel est alors l'équivalent relativiste du mouvement uniformément accéléré de la mécanique galiléenne ?

À un instant   donné, le point M est animé d'une vitesse V par rapport à  . Considérons alors un référentiel   se déplaçant à la vitesse constante   qui coïncide à l'instant   avec la vitesse V de M, et tel que son origine O' coïncide également avec M à l'instant  . Dans ce référentiel  , au cours du temps, le point M se voit se rapprocher de O', atteindre ce point en un certain instant  , sa vitesse V' s'annule en cet instant, puis il repart et s'éloigne de O'. Il est alors soumis à une accélération   dans le repère  . Puisque la vitesse V' s'annule au moment où M atteint O', nous ferons l'hypothèse que les lois de la mécanique galiléenne s'appliquent à cet instant, et que l'accélération   est égale à g. Selon les règles de transformation des accélérations vues précédemment, et compte tenu du fait que  , l'accélération de la particule M dans le référentiel   à l'instant   est  .

Si, à chaque instant  , on redéfinit le référentiel   coïncidant avec M, alors on définit ainsi une accélération propre constante   et une accélération dans le référentiel   égale à :

 .

Au fur et à mesure que V augmente et se rapproche de  , l'accélération de la particule dans le référentiel   diminue, bien que son accélération dans son référentiel propre reste constante. L'intégration de l'équation donne l'expression de V en fonction du temps, à savoir :

 

On constate que V tend vers   lorsque   tend vers l'infini. Par ailleurs, pour   proche de 0, on retrouve l'expression V = gt de la mécanique galiléenne. Une deuxième intégration fournit l'expression de l'abscisse   du point mobile M :

 .

Pour   proche de 0, on retrouve l'expression   de la mécanique galiléenne.

Accélération et énergieModifier

Si, dans l'étude du paragraphe précédent, on souhaite que la loi   reste valide, il faut, puisque dV/dt n'est pas constant, que m ne le soit pas non plus. F étant constante, on a nécessairement mV = Ft avec, comme on l'a vu :

 

ce qui donne :

 

On obtient alors :

 

Ainsi, lorsque V augmente, on est amené à attribuer une masse m en mouvement de plus en plus importante, afin que la loi fondamentale de la dynamique reste valide.

E = mc2Modifier

Toujours dans le cadre de l'étude précédente, la particule M voit son énergie varier avec la puissance suivante :

 

or :

  et  

d'où, après simplification :

 

ce qui conduit à la formule la plus célèbre de la physique :

 

On remarque que la variation d'énergie depuis l'instant initial est :

 

qui donne   pour les petites vitesses. On retrouve l'expression classique de l'énergie cinétique.

Le quadrivecteur force et la transformation des forcesModifier

Soit une particule de masse m0, se déplaçant à la vitesse   par rapport à un référentiel inertiel  . On peut, comme en mécanique classique, définir la force à laquelle est soumise cette particule si sa quantité de mouvement varie, par :

 

avec  , et sa variation d'énergie par :

 

Mais pour passer d'un référentiel à l'autre, il vaut mieux utiliser le quadrivecteur force défini comme la dérivée du quadrivecteur impulsion par rapport au temps propre :

 

L'application d'une transformation de Lorentz à ce quadrivecteur permet de savoir comment une force se transforme d'un référentiel à l'autre.

Si   sont les composantes de   dans le référentiel   et si   sont ses composantes dans le référentiel   en translation de vitesse   par rapport à  , alors on trouve que :

 
 
 

avec   et  .

En particulier, si la vitesse V du point mobile coïncide à un instant donné avec la vitesse   du référentiel  , alors  , par contre les deux autres composantes sont différentes.

Exemple 1 : chute libreModifier

Considérons une particule de masse m0 située en   = 0 en O et se déplaçant à la vitesse   selon l'axe  . On lui applique une force constante F = m0g selon l'axe  . En mécanique galiléenne, sa trajectoire est une parabole. Qu'en est-il en mécanique relativiste ?

En écrivant que   et en projetant cette relation sur deux axes, on obtient, en notant Vx et Vy les composantes de sa vitesse V à l'instant   :

 

d'où :

 

La résolution de ce système conduit à :

 

et l'intégration de ces deux relations donne les coordonnées   et   de la particule à l'instant   :

 

où arsinh est la réciproque du sinus hyperbolique. Si on exprime   en fonction de  , on obtient :

 

qui est l'équation d'une chaînette et non plus d'une parabole.

On peut retrouver les solutions de la mécanique galiléenne en augmentant indéfiniment la valeur de  , ce qui donne :

 .

Exemple 2 : champ électriqueModifier

On considère dans le référentiel   un champ électrique  , et une particule de charge  , se déplaçant dans ce champ. Celle-ci est soumise à une force  . Qu'en est-il dans le référentiel  , en déplacement à la vitesse   parallèle à   par rapport à   ?

À partir des relations :

 

avec   et  , on en déduit que :

 

La force   est de la forme :

 

avec   champ électrique de composantes   et   champ magnétique de composantes  

Ainsi, le fait de changer de référentiel a légèrement modifié les composantes du champ électrique orthogonales au déplacement, et a fait apparaître un champ magnétique. Ce champ n'est que l'effet relativiste du changement de référentiel.

 

Exemple 3 : champ magnétiqueModifier

On considère maintenant la même particule, mais dans un champ magnétique  . La force à laquelle la particule est soumise est cette fois :

 

Les composantes de cette force sont :

 

En opérant comme dans le paragraphe précédent, on trouve les composantes de la force dans le référentiel   :

 

La force   est de la forme :

 

avec ici   champ électrique de composantes   et   champ magnétique de composantes  .

Ainsi, le fait de changer de référentiel a légèrement modifié les composantes du champ magnétique orthogonales au déplacement, et a fait apparaître un champ électrique. Ce champ est aussi un effet relativiste du changement de référentiel.

 

Si on combine les exemples 2 et 3, on obtient les transformations d'un champ électro-magnétique   :

 

ou encore, en désignant par   et   les composantes des champs parallèles au sens du déplacement du référentiel  , et par   et   les composantes orthogonales :

 

Tout ceci fait intervenir deux champs   classiques qui lors d'un changement de référentiel se 'transforment' l'un dans l'autre sans pour cela se mettre clairement sous la forme de quadrivecteur comme l'énergie impulsion etc. Par contre les équations de Maxwell prennent une forme relativiste et   va se transformer comme doit le faire un quadrivecteur ce qui fait dire à Feynman que si dans les champs électromagnétiques il fallait mettre une hiérarchie c'est de considérer d'abord les grandeurs quadrivecteurs. Il faut donc essayer de formuler les équations de Maxwell avec des opérateurs et des champs vectoriels ou tensoriel à 4 dimensions.

Optique relativisteModifier

On utilise en optique relativiste les quadrivecteurs de la forme  , où ω est la pulsation de l'onde, et   le vecteur d'onde indiquant la direction de propagation de l'onde et de module ω/c. Ce quadrivecteur est l'équivalent pour une onde électromagnétique du quadrivecteur   énergie-impulsion pour une particule, multiplié par la constante de Planck  . En effet, la dualité onde-particule attribue à une onde une énergie  , et une quantité de mouvement dont le module est  .

La transformation d'un référentiel à l'autre de ce quadrivecteur explique les deux effets suivants :

Le quadrivecteur énergie impulsionModifier

Pour exprimer le quadrivecteur énergie impulsion d'une particule de masse m0 se déplaçant à la vitesse  , il suffit de considérer une masse m0 et de former comme en mécanique classique l'impulsion qui est le produit de la masse par la vitesse.

En mécanique relativiste, nous formons le produit de la masse par la quadri-vitesse, obtenant ainsi le quadrivecteur énergie-impulsion :

 

Si on calcule la pseudo norme, on obtient :

 
 

La pseudonorme étant un invariant, on va pouvoir l'égaler à elle-même en la calculant dans différents référentiels avant et après un choc évènement par exemple.

Dans la définition du quadrivecteur, on a posé :  où E est l'énergie associée à la particule en mouvement.  

 , quantité qui tend vers l'infini quand V tend vers c a souvent été utilisée au XXe siècle en termes de masse variable.

On préfère aujourd'hui réserver le mot masse pour désigner l'énergie propre d'une particule ; c’est-à-dire son énergie au repos.

Les chocs aux hautes énergiesModifier

La principale confirmation de la relativité est aujourd'hui facilement illustrée par ce qu'on appelle la physique des particules ou encore des hautes énergies. Les accélérateurs de particules frappent par la dimension des installations ; ce sont des tubes (dans lequel on fait le vide) de plusieurs kilomètres en forme d'anneau creux ou tore dans lequel sont injectés des 'paquets' de protons qui circulent à grandes vitesses après avoir été accélérés par des champs électriques et déviés par des champs magnétiques qui leur imposent de rester à tourner dans le tube. Ainsi il est possible de faire des chocs de protons contre des protons à hautes énergies.

Référentiels particuliersModifier

On considère en général deux référentiels : le référentiel où la cible 2 est au repos dit du laboratoire SL

 

et le référentiel où le tout est immobile dit, à tort, du centre de masse SCM

 

Exemple de chocModifier

si on a une particule de masse m1 qui vient percuter une particule de masse m2, on écrira en relativité restreinte la conservation du quadrivecteur impulsion :

 

On suppose que les deux particules se sont provisoirement unies et forment le tout avec :

 

ce qui donne aussitôt dans le référentiel où 2 est immobile :

 

  est l'énergie cinétique de la particule 1, puisque c'est son énergie en mouvement - moins son énergie au repos.

en résolvant :

  et  

Remarquer que: 

On peut donc en déduire le γ permettant de passer du système du laboratoire (cible 2 immobile) au système dit du centre de masse (l'ensemble est immobile)

  et le : 
La pseudonorme du tout donne la masse totale exprimée dans SL en fonction de m1,m2 et Ec1.

On constate que la masse du tout mt n'est pas la somme des masses m1 et m2, alors que ce serait le cas classiquement.

La conservation classique de la masse est mise à mal par la relativité restreinte et c'est là l'origine de l'énergie nucléaire : l'énergie du soleil provient de la libération de l'énergie contenue dans la masse qui disparaît dans les réactions de fusion.

En sens inverse on peut créer de la masse et donc de nouvelles particules dans les anneaux de collision par la conversion d'énergie en masse.

Le défaut de masseModifier

Dans l'exemple précédent, mt était supérieure à la somme des masses m1 et m2. À l'inverse, lors d'une désintégration radioactive, la masse des particules formées est inférieure à la masse initiale. La réaction a produit de l'énergie : elle est exoénergétique.

Ce qui donne aussitôt dans le référentiel dit du centre de masse celui où la particule mt est immobile :

 
 

  est l'énergie cinétique de la particule 2, puisque c'est son énergie en mouvement - moins son énergie au repos.

en ordonnant et en résolvant :

  et  

On peut donc en déduire le γ permettant de passer du système du laboratoire (cible 2 immobile) au système dit du centre de masse (l'ensemble est immobile)

  et le : 

et en permuttant 1 et 2

 
 

  est l'énergie cinétique de la particule 2, puisque c'est son énergie en mouvement - moins son énergie au repos.

  et  

Remarquer que: 

Les lois de l'électromagnétismeModifier

L'équation de conservation de la charge électrique s'écrit :

  La force de Lorentz s'écrit : .

Les équations de Maxwell s'écrivent sous forme vectorielle

 

Écrites dans le formalisme de Lorentz avec des quadrivecteurs, elles se simplifient.

On pose comme quadri-vecteur courant  . En effet, soit ρ0 la densité de charge dans le référentiel propre, se déplaçant à la vitesse   par rapport à un référentiel  . Du fait de la contraction des longueurs dans la direction de  , le volume occupé par une charge donnée sera multiplié par le facteur   lorsqu'il est observé depuis le référentiel  , et donc la densité de charge dans ce même référentiel sera γ(V)ρ0. Par ailleurs, la densité de courant est  , de sorte que :

  produit de ρ0 par le quadrivecteur vitesse.

On peut alors appliquer les transformations de Lorentz pour déterminer comment sont transformées densité de charge et densité de courant d'un référentiel   à un référentiel  .

Nous avons donc comme formule de transformation des courants et des densités de courant (pour un référentiel en translation uniforme) :

 

De la même façon, on a comme transformation pour les potentiels :

 

On définit le quadrivecteur potentiel électromagnétique :

 
Nous définissons le champ électromagnétique de la façon suivante :
 

Les transformations des composantes du champ électromagnétique s'écrivent :

 
On peut alors définir :
 
Le Tenseur électromagnétique F est anti-symétrique, nous pouvons calculer ses composantes :

 

Le tenseur électromagnétique s'écrit sous forme matricielle :
 

Les équations contenant les sources (1) et (4) s'écrivent dans la formulation covariante :

 
En effet, on a :
 

Les équations (2) et (3) s'écrivent :

 
La vérification est aisée.

L'équation s'écrit aussi avec le tenseur de Lévi-Civita :  .

Autres ébauchesModifier

les intervalles d'espace
etc.

RéférencesModifier

Voir aussiModifier

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