Arrondi (mathématiques)

Un arrondi d'un nombre est une valeur approchée de ce nombre obtenu, à partir de son développement décimal, en réduisant le nombre de chiffres significatifs. Le résultat est moins précis, mais plus facile à employer.

Par exemple 7,3 peut être arrondi à l'unité la plus proche en 7, parce que 7,3 est plus proche de 7 que de 8 mais 7,5 peut être arrondi à 8 car son chiffre de dixième est supérieur ou égal à 5.

Définition formelleModifier

Un arrondi de   à   près est le nombre   tel que ,   étant l'arrondi par défaut et   l'arrondi par excès.

L'arrondi arithmétique est défini comme :  

autrement dit, pour un nombre positif, si la première décimale à éliminer est comprise entre 0 et 4 inclus, on arrondit au défaut et si elle est comprise entre 5 et 9 inclus, on arrondit à l'excès. Pour un nombre négatif, on arrondit à l'excès si la première décimale à ne pas conserver est comprise entre 0 et 4 inclus, et au défaut entre 5 et 9 inclus.

Arrondi au plus proche ou arrondi arithmétiqueModifier

Cette méthode est la plus connue, mais n'est pas la plus courante :

  • choisir le dernier chiffre (à droite) à conserver ;
  • si le nombre à arrondir est positif : augmenter ce chiffre d'une unité si le chiffre suivant vaut au moins 5 ;
  • si le nombre à arrondir est négatif : augmenter ce chiffre d'une unité si le chiffre suivant vaut au moins 5 ;
  • conserver ce chiffre si le suivant est strictement inférieur à 5.

Par exemple, 3,046 arrondi aux centièmes vaut 3,05 (le chiffre suivant (6) est supérieur à 5).

Voici d'autres exemples en ne gardant qu'un seul chiffre significatif après la virgule :

  • 1,349 devient 1,3 (car le chiffre suivant 3 est strictement inférieur à 5) ;
  • 1,350 devient 1,4 (car le chiffre suivant 3 vaut au moins 5) ;
  • -1,348 devient -1,3 (car le chiffre suivant 3 est strictement inférieur à 5) ;
  • -1,372 devient -1,4 (car le chiffre suivant 3 vaut au moins 5).

En pratique, la méthode consiste à séparer les dix chiffres décimaux (0, 1… 9) en deux parties :

  • les cinq premiers : 0, 1, 2, 3 et 4, pour lesquels on passe à la valeur inférieure ;
  • les cinq suivants : 5, 6, 7, 8 et 9, pour lesquels on passe à la valeur supérieure.

Cette méthode entraîne un biais lors de calculs successifs, ce pourquoi on lui préfère généralement l'arrondi bancaire.

Mathématiquement, l’arrondi de Xn (Xn étant X tronqué au multiple n de 10 souhaité, pour tout entier naturel n non nul) est égal à la partie entière de (Xn+0,5).

Arrondi au pair le plus procheModifier

Si quatre (ou un chiffre inférieur) est le chiffre qui suit la décimale à laquelle le nombre doit être arrondi, alors la décimale reste inchangée. Alors que si le chiffre suivant la décimale est six ou plus, la décimale est augmentée d'une unité. Enfin si le chiffre suivant est le chiffre cinq lui-même suivi par des chiffres différents de zéro, alors la décimale sera augmentée d'une unité, tandis que si cinq n'est suivi d'aucun chiffre (ou que par des zéros) alors la décimale est augmentée d'une unité lorsqu'elle est impaire et reste inchangée sinon. Cette méthode est parfois appelée « arrondi au chiffre pair » et est employée afin d'éliminer le biais qui surviendrait en arrondissant à chaque fois par excès les nombres dont le dernier chiffre est cinq.

Exemples :

  • 3,046 arrondis aux centièmes devient 3,05 (parce que le chiffre suivant (6) est supérieur ou égal à 6) ;
  • 3,043 arrondis aux centièmes devient 3,04 (parce que le chiffre suivant (3) est inférieur ou égal à 4) ;
  • 3,045 arrondis aux centièmes devient 3,04 (parce que le dernier chiffre est 5, et le chiffre précédent (4) est pair) ;
  • 3,015 arrondis aux centièmes devient 3,02 (parce que le dernier chiffre est 5, et le chiffre précédent (1) est impair).

Cette méthode est aussi nommée « arrondi bancaire » et est celle utilisée par défaut dans les micro-processeurs et le calcul numérique (norme IEEE 754).

Arrondi stochastiqueModifier

L'arrondi stochastique, qui consiste aussi à arrondir à l'entier le plus proche, est une autre méthode utilisée en statistiques pour éviter le biais qui surviendrait en arrondissant à chaque fois par excès lorsque les deux entiers (inférieur et supérieur) sont équidistants du nombre à arrondir : en effet, lorsque ce cas se présente, la décision d'arrondir à l'entier supérieur ou inférieur est prise de manière aléatoire ou pseudo-aléatoire. L'inconvénient de cette méthode est qu'il est difficile de vérifier ou de répliquer une analyse statistique faite de cette manière.

Autres méthodesModifier

D'autres méthodes arrondissent de différentes manières :

Lorsque le montant des salaires en France était distribué en liquide dans les années 1960 (billets et pièces de nouveaux francs) , certaines entreprises françaises, comme Lip à Besançon, utilisaient une méthode d'arrondi supérieur des salaires pour supprimer les centimes de franc dans les enveloppes : l'entreprise arrondissait au franc immédiatement supérieur le montant à verser par une avance des centimes manquants. Le mois suivant, cette avance était déduite du nouveau salaire, et la nouvelle somme à payer était également arrondie au franc supérieur, et ainsi de suite de mois en mois. Le gain pour l'entreprise était la réduction du nombre de pièces de petite monnaie à inclure dans les enveloppes de paie, pièces qu'il fallait souvent se procurer auprès de la banque de France, et la réduction du temps nécessaire pour cette opération, pour un coût relativement faible (moins d'un franc avancé en permanence par salarié). Chez Lip, ce système d'arrondi a même été conservé pour les virements bancaires des salaires jusqu'à la liquidation de l'entreprise en 1973, bien qu'il n'était alors plus justifié.

Zéro négatifModifier

Lorsqu'un nombre négatif est arrondi à zéro, le résultat de l'arrondi est parfois noté -0 pour indiquer ce fait. C'est notamment le cas en météorologie pour les températures.

Articles connexesModifier

Notes et référencesModifier