Arbre de Pythagore

L'arbre de Pythagore est une fractale plane construite à l'aide de carrés. Elle porte le nom de Pythagore car chaque triplet de carrés en contact enclot un triangle rectangle, une configuration traditionnellement utilisée pour illustrer le théorème de Pythagore.

L'arbre

ConstructionModifier

La construction de l'arbre de Pythagore débute avec un simple carré. Sur ce carré sont construits deux autres carrés, dont chaque côté est plus petit d'un facteur ½√2 par rapport au carré de l'étape précédente, tels que les sommets des carrés soient en contact. La procédure est appliquée récursivement à chaque carré, jusqu'à l'infini. L'illustration ci-dessous illustre les premières itérations de la construction.

Ordre 0 Ordre 1 Ordre 2 Ordre 3

AireModifier

La ne itération ajoute 2n carrés de côté (½√2)n, pour une aire totale de 1. Ainsi, l'aire totale de l'arbre semble a priori tendre vers l'infini. Cependant, certains des carrés se superposent à partir de la 5e itération et l'arbre possède finalement une aire finie et tient en fait dans un rectangle de 6×4.

VariationsModifier

En conservant la contrainte de former un triangle rectangle à partir de trois carrés, mais en donnant des tailles différentes à chacun des carrés ajoutés à chaque itération, il est possible de créer des formes fractales similaires à l'arbre de Pythagore. L'illustration suivante illustre une telle variation

Ordre 0 Ordre 1 Ordre 2 Ordre 5

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