Arbre d'Aronszajn
En mathématiques, et plus précisément en théorie des ensembles, un arbre d'Aronszajn est un arbre non dénombrable n'ayant que des branches dénombrables et que des niveaux dénombrables. Nachman Aronszajn construisit en 1934 le premier arbre ayant cette propriété.
Définitions modifier
En théorie des ensembles, un arbre est un ensemble T partiellement ordonné tel que, pour tout x, l'ensemble des minorants de x, , est bien ordonné, et ayant un plus petit élément (la racine de l'arbre)[1]. On appelle hauteur d'un élément x l'ordinal de l'ensemble Mx et hauteur de l'arbre la borne supérieure des hauteurs de ses éléments. On dit qu'un ensemble S ⊂ T est une branche de T si c'est un sous-ensemble de T totalement ordonné (et donc bien ordonné) maximal pour l'inclusion ; la hauteur d'une branche est son ordinal. Enfin, on appelle niveau de T (de hauteur α) l'ensemble des éléments de T de hauteur α.
Si κ est un cardinal, un κ-arbre d'Aronszajn est un arbre de hauteur κ dont aucune branche n'est de hauteur κ, et tel que tous les niveaux de T (de hauteur α < κ) soient également de cardinal < κ ; les arbres d'Aronszajn sont les ℵ1-arbres d'Aronszajn, ce qui équivaut à des arbres non dénombrables dont toutes les branches sont dénombrables, et dont chaque élément a au plus un nombre dénombrable de successeurs.
On dit qu'un cardinal κ pour lequel il n'existe pas de κ-arbre d'Aronszajn possède la propriété de l'arbre (on demande parfois de plus que κ soit régulier et non dénombrable) ; les arbres ayant un tel cardinal satisfont à un analogue convenable du lemme de König.
Existence de κ-arbres d'Aronszajn modifier
Le lemme de König dit qu'il n'existe pas de ℵ0-arbre d'Aronszajn.
Des ℵ1-arbres d'Aronszajn furent construits en 1934 par Nachman Aronszajn[2],[3], ce qui montre que l'analogue du lemme de König ne s'applique pas aux arbres non dénombrables.
L'existence de ℵ2-arbres d'Aronszajn est indécidable: l'hypothèse du continu implique l'existence d'un ℵ2-arbre d'Aronszajn, mais Mitchell et Silver ont montré, en admettant l'existence d'un cardinal faiblement compact (en), qu'il est consistant de supposer qu'aucun ℵ2-arbre d'Aronszajn n'existe.
Ronald Jensen a montré que l'axiome de constructibilité implique l'existence d'un κ-arbre d'Aronszajn pour tout cardinal κ infini et non limite.
En 1998, Cummings et Foreman ont montré (en utilisant un axiome de grand cardinal) qu'il est consistant qu'il n'existe aucun ℵn-arbre d'Aronszajn pour tout n fini autre que 1.
Si κ est faiblement compact, il n'existe pas de κ-arbre d'Aronszajn. Réciproquement, si κ est inaccessible et qu'il n'existe pas de κ-arbre d'Aronszajn, κ est faiblement compact.
Arbres d'Aronszajn spéciaux modifier
On dit qu'un arbre d'Aronszajn T est spécial s'il existe une fonction f de T vers les rationnels strictement croissante, c'est-à-dire que x<y implique f(x)<f(y). L'axiome de Martin MA(ℵ1) entraîne que tous les arbres d'Aronszajn sont spéciaux. L'axiome de forcing propre (en) (qui est plus fort que l'axiome de Martin) entraîne un résultat plus fort, assurant qu'en un certain sens, tous les arbres d'Aronszajn sont isomorphes : plus précisément, étant donnés deux arbres d'Aronszajn, il existe un club (contraction de l'anglais CLosed UnBounded : un ensemble non borné, fermé pour la topologie de l'ordre) de niveaux tel que les restrictions des deux arbres à ces ensembles de niveaux sont isomorphes. En revanche, il est consistant (avec ZFC), qu'il existe des arbres d'Aronszajn non spéciaux, et c'est également consistant avec l'hypothèse généralisée du continu, et avec l'hypothèse de Souslin[4].
Notes modifier
- Cette définition dépend un peu des auteurs, certains n'exigeant pas de racine, obtenant ce que d'autres appellent des forêts.
- Đuro Kurepa, « Ensembles ordonnés et ramifiés », Publ. Math. Univ. Belgrade, vol. 4, , p. 1-138
- On trouvera dans Abraham 2009 des exemples de constructions explicites d'arbres d'Aronszajn spéciaux
- Schlindwein 1994
Références modifier
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Aronszajn tree » (voir la liste des auteurs).
- (en) James Cummings et Matthew Foreman, « The tree property », Adv. Math., vol. 133, no 1, , p. 1-32 (DOI 10.1006/aima.1997.1680, MR 1492784)
- (en) Chaz Schlindwein, « Consistency of Suslin's Hypothesis, A Nonspecial Aronszajn Tree, and GCH », The Journal of Symbolic Logic, vol. 59, no 1, , p. 1–29 (DOI 10.2307/2275246, JSTOR 2275246)
- (en) Uri Abraham, Aronszajn Trees, (lire en ligne)
- (en) Ch. Schlindwein, « Arbre d'Aronszajn », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
Voir aussi modifier
Articles connexes modifier
Lien externe modifier
- (en) « Aronszajn tree », sur PlanetMath
