Application linéaire par morceaux

En mathématiques, une application linéaire[1] par morceaux est une application définie sur un espace topologique composé de facettes affines, à valeurs dans un espace affine et dont les restrictions à chaque facette sont induites par des applications affines. Une telle application est en général supposée continue.

Une application linéaire par morceaux en 2D (en haut) et les polytopes convexes sur lesquels elle est linéaire (en bas).

Un cas particulier d'application linéaire par morceaux est celui d'une fonction affine par morceaux, définie sur une réunion d'intervalles réels et à valeurs réelles, telle que la restriction à chacun de ces intervalles est donnée par une expression affine.

La notion est cependant développée surtout pour décrire des polyèdres et plus généralement les complexes simpliciaux et variétés PL. Elle sert en imagerie numérique pour représenter des objets en trois dimensions.

DéfinitionModifier

Une application linéaire par morceaux est une application f : Ω → V, où V est un espace affine réel et Ω est un espace topologique obtenu comme réunion d'une famille de parties homéomorphes à des parties d'un espace affine et de façon que les structures affines coïncident sur les intersections de ces parties et que les restrictions de f soient affines sur chaque partie.

La réunion peut être supposée finie et chacune de ces parties de Ω identifiée avec un polytope convexe.

Exemples

Les fonctions valeur absolue, partie fractionnaire, signal triangulaire sont des exemples de fonctions linéaires par morceaux.

ApplicationsModifier

 
Une fonction (en bleu) et une approximation linéaire par morceaux (en rouge)

Les fonctions linéaires par morceaux sont utilisées pour obtenir des approximations de fonction : à partir d'un ensemble fini de valeurs ponctuelles d'une fonction donnée, on construit la fonction linéaire par morceaux qui interpole deux points successifs par une approximation linéaire.

Voir aussiModifier

Notes et référencesModifier

  1. L'adjectif « linéaire » vient de la traduction de l'anglais piecewise linear mais correspond plus à la notion de fonction affine que de fonction linéaire.