Annuité constante

L'annuité constante est le remboursement annuel d'un emprunt avec les intérêts par un montant constant, qui est calculé en fonction du taux d'intérêt et de la durée de l'emprunt selon une formule mathématique. Une annuité constante peut désigner aussi à l'inverse un versement à intervalle régulier d'une même somme pour un placement échelonné.

L'annuité constante d'un empruntModifier

La formule du taux d'annuité constanteModifier

Le calcul d'une annuité constante versée par l'emprunteur chaque année ou chaque période s'exprime par la formule :

 

avec:

  •   est la valeur de l'annuité
  •   est la valeur du capital emprunté ou emprunt,
  •   est le taux d'intérêt
  • n est le nombre de périodes
  • a est le taux d'annuité constante

 

Exemple d'un échéancierModifier

Pour un prêt à annuité constante de 100000 sur 5 ans à un taux de 3% :

annuités 21834.06 21834.06 21834.06 21834.06 21834.06
remboursements 18834.06 19399.4 19981.3 20600 20538
intérêts 3000 2434,94 1852,92 1254 648

Comparaison avec un prêt à remboursement constant où les intérêts sont un peu plus faibles :

annuités 23000 22400 21800 21200 20600
remboursements 20000 20000 20000 20000 20000
intérêts 3000 2400 1800 1200 600

Démonstration de la formuleModifier

Chaque année l'emprunteur doit verser une même somme appelée l'annuité constante égale à E x a si E est le montant de l'emprunt et a le taux d'annuité constante. Cette somme est composée d'une part des intérêts et d'autre part du remboursement du capital. Les intérêts vont en s'amenuisant chaque année puisqu'ils sont calculés sur ce qui reste à rembourser multiplié par i. Donc les remboursements de l'emprunt vont à l'inverse en augmentant chaque année et le calcul de la deuxième année montre que le facteur est de 1+i :

La 1° année les intérêts sont de :  

et donc le remboursement est de :  

Les intérêts la 2° année sont de :  

et donc le remboursement est de :  

Si on suppose que le remboursement augmente de ce même facteur chaque année alors la formule du remboursement Rn à l'année n est :

 

Pour être sûr que c'est toujours le même facteur quelle que soit l'année cela nécessite une démonstration par récurrence écrite plus bas. Ainsi on voit apparaître une suite géométrique dont les termes sont les remboursements successifs d'emprunt. Donc en fait si R1 soit E (a-i) est le remboursement de la 1° année et si Rn est celui de la n-ième année alors la somme R1 + R2 + ... + Rn est égale à E le montant de l'emprunt. Après il suffit d'appliquer la formule de la somme d'une suite géométrique de raison r égale à 1+i et de premier terme égal à E (a-i) pour résoudre l'équation et retrouver la formule du taux d'annuité constante.

On peut faire la démonstration rapide pour le calcul de la somme de cette suite géométrique.

Si Sn est la somme des n termes alors on a :

 

En multipliant tous les termes par 1+i on a :

 

En soustrayant ces deux suites tous les termes s'annulent sauf le premier et le dernier :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Les suites géométriquesModifier

La progression géométrique est une suite de nombres (ou termes) dont la raison r est constante, n étant le nombre de termes de la suite. Chaque terme est égal au terme précédent multiplié par r.

La somme de cette suite se calcule par la formule  multipliée par le premier terme de la suite. La démonstration générale se trouve sur la page suite géométrique.

La démonstration par récurrenceModifier

Si on considère que la formule des remboursements est vraie au rang p, est-ce qu'elle l'est toujours au rang p+1 ?

Au rang p le remboursement est :  

et la somme de tout ce qui a été remboursé est donc égale à :  

Au rang p+1 les intérêts seront de :

 

et donc le remboursement du capital emprunté sera de E x a moins cette somme soit :

 

 

 

Donc on a bien quelle que soit l'année n :

 

La formule des remboursementsModifier

Il existe une autre formule concernant les remboursements successifs :

 

 

...

 

Pour démontrer cette deuxième formule des remboursements on part de la dernière année où le remboursement Rn est égal à ce qui reste à rembourser donc on a :

 

et donc  

On vérifie aussi qu'en remplaçant a par la formule du taux d'annuité constante on obtient bien le même résultat pour le remboursement de la première année :

 

Les annuités de placementModifier

Calcul du capital à l'échéanceModifier

A l'inverse des annuités constantes d'amortissement d'emprunt il existe les annuités de placement pour les épargnants par exemple qui versent à intervalle régulier une même somme d'argent pour constituer à l'échéance un capital plus important avec des intérêts composés.

Là aussi on obtient une suite géométrique. Si A est le montant de l'annuité, la valeur acquise du dernier ou n-ième versement sera de A (1+i). Celle de l'avant-dernier sera de A (1+i)2. Et ainsi de suite jusqu'au premier qui aura une valeur de A (1+i)n. Le capital à l'échéance sera donc la somme de tous ces termes et la formule des suites géométriques donne la réponse, A(1+i) étant le premier terme et 1+i la raison :

 

Rappel sur le calcul des intérêtsModifier

Si Co est le capital initial, i le taux d'intérêt, n le nombre d'années, I le montant à échéance des intérêts et Cn le montant du capital à l'échéance, le calcul d'un intérêt simple au bout des n années s'exprime par la formule :

 

exemple :   = 10 000,   = 5%,   = 10

Alors :   = 10 000 x 0,05 x 10 = 5000€

Le calcul de la valeur acquise s'exprime par la formule : 

  = 10 000 (1 + 0,05 x 10) = 15 000

Pour un intérêt composé l'intérêt vient se greffer au capital majoré des intérêts passés :

  (n fois)

ou encore :

 

Avec les mêmes données que l'exemple précédent on obtient :

 = 10 000 x 1,0510 = 16 288,95