Amibe (mathématiques)

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse complexe, une amibe est une figure géométrique associée à un polynôme à plusieurs variables complexes. Les amibes ont des applications en géométrie algébrique, en particulier en géométrie tropicale.

L'amibe de
P(z,w)=w-2z-1.

L'amibe de
P(z, w)=3z²+5zw+w³+1
(on remarque la "vacuole" dans le corps de l'amibe.

L'amibe de
P(z, w) = 1 + z+z² + z³ + z²w³ + 10zw + 12z²w +10z²w².

L'amibe de
P(z, w)=50 z³ +83 z² w+24 z w² +w³+392 z² +414 z w+50 w² -28 z +59 w-100.

Définition

Soit la fonction

$\mathrm {Log} :\left({\mathbb {C} }\backslash \{0\}\right)^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$

définie sur l'ensemble de tous les n-uplets $z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})$ de nombres complexes non nuls, et à valeurs dans l'espace euclidien $\mathbb {R} ^{n},$ par la formule

$\mathrm {Log} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})=(\ln |z_{1}|,\ln |z_{2}|,\dots ,\ln |z_{n}|).\,$

(où ln désigne le logarithme naturel). Si p(z) est un polynôme en $n$ variables complexes, son amibe ${\mathcal {A}}_{p}$ est définie comme l'image de l'ensemble des zéros de p par la fonction Log, c'est-à-dire que :

${\mathcal {A}}_{p}=\left\{\mathrm {Log} (z)\,:\,z\in \left({\mathbb {C} }\backslash \{0\}\right)^{n},p(z)=0\right\}.\,$

Les amibes furent définies en 1994 dans un livre de Israel Gelfand, A. V. Kapranov, et Andrei Zelevinsky.

Propriétés

• Toute amibe est un ensemble fermé ;
• Toute composante connexe du complémentaire $\mathbb {R} ^{n}\backslash {\mathcal {A}}_{p}$ est convexe ;
• L'aire d'une amibe d'un polynôme à deux variables est finie ;
• Les amibes en dimension 2 ont des "tentacules" infiniment longs, se rapprochant exponentiellement vite de droites asymptotes.

Fonction de Ronkin

La fonction de Ronkin, associée au polynôme p(z=(z₁,...,z_n)) (en n variables complexes), va de $\mathbb {R} ^{n}$ vers $\mathbb {R}$, et est définie par

$N_{p}(x)={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\mathrm {Log} ^{-1}(x)}\ln |p(z)|\,{\frac {dz_{1}}{z_{1}}}\wedge {\frac {dz_{2}}{z_{2}}}\wedge \cdots \wedge {\frac {dz_{n}}{z_{n}}},$

où $x$ est le vecteur $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$, ce qui est équivalent à

$N_{p}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{[0,2\pi ]^{n}}\ln |p(z)|\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n},$

où $z=\left(e^{x_{1}+i\theta _{1}},e^{x_{2}+i\theta _{2}},\dots ,e^{x_{n}+i\theta _{n}}\right)$.

La fonction de Ronkin est convexe, et affine sur chaque composante connexe du complémentaire de l'amibe de $p(z)$.

Par exemple, la fonction de Ronkin d'un monôme $p(z)=az_{1}^{k_{1}}z_{2}^{k_{2}}\dots z_{n}^{k_{n}}$, avec $a\neq 0$, est

$N_{p}(x)=\log |a|+k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}+\cdots +k_{n}x_{n}.\,$

Squelette d'une amibe

Si on remplace dans la définition de la fonction Log le logarithme népérien par le logarithme en base b, et qu'on fait tendre b vers l'infini, on démontre que l'amibe se contracte vers l'ensemble des zéros de la fonction associée à p en restant dans Rⁿ et en remplaçant le polynôme par son analogue tropical, pour lequel les sommes de monômes $ax^{m}y^{n}$ sont remplacées par le maximum d'expressions de la forme $b+mx+ny$ (ces expressions sont les fonctions de Ronkin des monômes du polynôme). Il en résulte que cet ensemble, appelé squelette de l'amibe, est formé de portions de droites.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Amoeba (mathematics) » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Articles connexes

• Mathématiques tropicales

Bibliographie

• (en) Ilia Itenberg, Grigory Mikhalkin et Eugenii Shustin, Tropical algebraic geometry, vol. 35, Bâle, Birkhäuser, 2007, 103 p. (ISBN 978-3-7643-8309-1, lire en ligne)
• (en) Oleg Viro, « What Is . . . An Amoeba? », Notices of the American Mathematical Society, vol. 49, n^o 8,‎ 2002, p. 916–917 (lire en ligne)
• (en) Thorsten Theobald, « Computing amoebas », Exp. Math., vol. 11,‎ 2002, p. 513–526 (DOI 10.1080/10586458.2002.10504703, lire en ligne).
• Antoine Chambert-Loir, « Quand la géométrie devient tropicale », Pour la science, n^o 492,‎ octobre 2018, p. 26-33

Liens externes

Droites tropicales, sur le site Images des mathématiques.