Algorithme proximal (optimisation)

En analyse numérique et plus précisément en optimisation mathématique, l'algorithme proximal (ou algorithme du point proximal) est un algorithme itératif de calcul d'un minimum d'une fonction convexe semi-continue inférieurement propre. Si la fonction n'est pas quadratique, chaque itération requiert la minimisation d'une fonction non linéaire fortement convexe. L'algorithme peut être vu comme une méthode de gradient implicite.

Certains algorithmes peuvent être interprétés comme des algorithmes proximaux. Il en est ainsi de la méthode des multiplicateurs (ou algorithme du lagrangien augmenté). Cette lecture permet alors d'en établir des propriétés de convergence, déduites de celles de l'algorithme proximal.

Le problèmeModifier

Soient   un espace de Hilbert, dont le produit scalaire est noté   et la norme associée est notée  , et   une fonction convexe semi-continue inférieurement propre. On s'intéresse au problème de trouver un minimum de  , c'est-à-dire un point   tel que

 

Le problème revient à trouver une solution   de l'inclusion

 

  est le sous-différentiel de   en  , parce que cette inclusion est une condition nécessaire et suffisante d'optimalité du problème de minimisation. On montre que, sous les propriétés énoncées de  ,   est un opérateur monotone maximal[1], ce qui permet de voir le problème comme un cas particulier de recherche de zéro d'opérateur monotone maximal et de voir l'algorithme proximal en optimisation comme un cas particulier de l'algorithme proximal pour la recherche de zéro de tels opérateurs.

L'algorithmeModifier

L'algorithme est en partie fondé sur le fait que, lorsque   est convexe fermée propre et  , la fonction

 

est fortement convexe, de module  , fermée propre et a donc un minimiseur unique. Dans la description de l'algorithme ci-dessous, on note

 

Algorithme proximal — On se donne un itéré initial  . L'algorithme proximal définit une suite d'itérés  , en calculant   à partir de   par

 

  est un nombre réel pouvant être modifié à chaque itération.

Exprimé autrement, le calcul du nouvel itéré consiste à trouver l'unique solution   de l'inclusion

 

ce qui s'écrit aussi

 

L'algorithme peut donc être vu comme une méthode de sous-gradient implicite (implicite car le sous-gradient est évalué au nouveau point   – inconnu – et non pas en l'itéré courant  ) avec pas  . On voit aussi que chaque itération requiert la résolution d'un problème d'optimisation non linéaire (à moins que   ne soit quadratique).

Voilà un algorithme bien étrange, puisque pour minimiser  , il faut qu'à chaque itération, l'algorithme proximal minimise la fonction   qui semble bien être aussi compliquée que  . Ce point de vue doit être relativisé au vu des remarques suivantes.

  1. La fonction   à minimiser (à chaque itération, ne l'oublions pas) peut être plus attrayante que  , du fait de sa forte convexité. Pour certains algorithmes, cette propriété est une aubaine, permettant d'accélérer leur convergence et de mieux la contrôler. Cette fonction a aussi un minimum unique, ce qui n'est pas nécessairement le cas de  .
  2. Certains algorithmes de dualité peuvent être interprétés comme des algorithmes proximaux. Ces algorithmes de dualité s'appliquent en fait à des fonctions   dont l'évaluation résulte de la minimisation d'une fonction (le lagrangien) et il n'est pas plus coûteux d'évaluer   que de minimiser  , qui revient à minimiser une autre fonction (le lagrangien augmenté). Ces algorithmes de dualité ont donc tout leur sens. Leur interprétation en termes d'algorithme proximal permet alors d'en obtenir des propriétés difficiles à mettre en évidence autrement.
  3. Observons que si   et   est séparable, c'est-à-dire si elle s'écrit comme suit

     

    où les   sont de petites parties de l'ensemble des indices  , il en est de même de  . C'est une propriété intéressante lorsqu'on cherche à résoudre de grands problèmes par des techniques de décomposition.
  4. L'algorithme proximal a un effet stabilisant. Lorsque   a plusieurs minimiseurs, l'algorithme génère une suite convergeant vers l'un d'entre eux. L'algorithme proximal est parfois utilisé pour stabiliser des algorithmes qui ne convergeraient pas sans modification lorsque le problème considéré devient singulier.

ConvergenceModifier

Résolution approchéeModifier

Le calcul de l'itéré suivant par   est souvent coûteux en temps de calcul. Dès lors, l'on se contente souvent d'un calcul approché conservant toutefois les propriétés de convergence de l'algorithme idéal. On peut aussi arguer que ce calcul ne peut être réalisé exactement en arithmétique flottante. Différents critères ont donc été proposés pour déterminer ce qu'est une résolution approchée acceptable.

Critères d'arrêt de RockafellarModifier

Rockafellar (1976a) propose de se contenter d'un   vérifiant

 

Ce critère requiert la connaissance complète du sous-différentiel  , ce qui est rarement aisé. Cependant, si l'on connait un élément  , le critère pourra être renforcé en y remplaçant   par   puisque  .

On a le résultat de convergence faible suivant[2].

Convergence faible — On suppose que   est propre convexe fermée. On considère l'algorithme proximal avec le critère d'arrêt (R1) et   uniformément positif. On note   la suite générée par l'algorithme. Alors

  1. si   n'a pas de minimiseur,   n'est pas bornée,
  2. si   a un minimiseur,   converge faiblement vers un minimiseur   de  ,   (convergence forte dans  ) et

 

Rockafellar (1976a) propose aussi un critère plus exigeant, celui dans lequel on requiert le calcul d'un   vérifiant

 

On peut faire pour ce critère, la même remarque que celle faite pour le critère (R1), concernant le calcul du sous-différentiel  .

On a alors le résultat de convergence forte suivant[3]. On y impose que   soit localement radialement lipschitzienne de module   en zéro, ce qui signifie que

 

D'autres expressions de cette propriété sont données dans le résultat, en termes de   et de sa conjuguée  .

Convergence forte — On suppose que   est propre convexe fermée, qu'elle a un unique minimiseur   et que, pour une constante  , elle vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :

  •   est localement radialement lipschitzienne en zéro de module  ,
  • pour   voisin de  , on a  ,
  • pour   voisin de  , on a  .

On considère l'algorithme proximal avec le critère d'arrêt (R2) et des paramètres   uniformément positifs. On suppose que la suite générée   est bornée. Alors   converge fortement et linéairement vers   :

 

  avec  .

On note que si  , alors   et  , ce qui implique qu'alors la suite   converge superlinéairement vers  .

AnnexesModifier

NotesModifier

  1. La monotonie maximale du sous-différentiel d'une fonction convexe fermée propre est due à Minty (1964) et Moreau (1965).
  2. Théorème 4 chez Rockafellar (1976a).
  3. Réunion du théorème 2 et de la proposition 7 chez Rockafellar (1976a).

Lien externeModifier

BibliographieModifier

  • (en) G.J. Minty (1964). On the monotonicity of the gradient of a convex function. Pacific Journal of Mathematics, 14, 243–247.
  • J.J. Moreau (1965). Proximité et dualité dans un espace hilbertien. Bulletin de la Société Mathématique de France, 93, 273–299.
  • (en) R.T. Rockafellar (1976a). Monotone operators and the proximal point algorithm. SIAM Journal on Control and Optimization, 14, 877–898.
  • (en) R.T. Rockafellar (1976b). Augmented Lagrangians and applications of the proximal point algorithm in convex programming. Mathematics of Operations Research, 1, 97-116.