Algorithme de Josephy-Newton

L'algorithme de Josephy-Newton est une méthode de linéarisation pour résoudre une inclusion fonctionnelle, c'est-à-dire un problème de la forme

est une fonction différentiable entre les deux espaces vectoriels et et est une multifonction entre les mêmes espaces. Ce problème signifie que l'on cherche tel que l'ensemble contienne l'élément nul de ou encore tel que l'ensemble contienne . Ce formalisme est suffisamment général pour englober les problèmes variationnels, les problèmes d'inéquations variationnelles, les problèmes de complémentarité non linéaires et les conditions d'optimalité du premier ordre des problèmes d'optimisation.

L'algorithme de Josephy-Newton consiste à générer une suite , où le nouvel itéré est calculé à partir de l'itéré courant en résolvant (si possible) l'inclusion partiellement linéarisée

On retrouve l'algorithme de Newton si . Le fait de maintenir inchangé dans cette inclusion linéarisée, qui calcule le nouvel itéré, permet d'avoir les mêmes résultats de convergence superlinéaire ou quadratique qu'avec la méthode de Newton résolvant un système non linéaire, sous des hypothèses de lissité et de régularité similaires. Cependant, contrairement à l'algorithme de Newton, il ne suffit pas de résoudre un système linéaire à chaque itération pour calculer le nouvel itéré , car le système ci-dessus permettant de calculer celui-ci est une inclusion non linéaire, qui pourra demander beaucoup de temps de calcul.

L'algorithme de Josephy-Newton modifier

Cas général modifier

Comme spécifié dans l'introduction, l'algorithme de Josephy-Newton de résolution de   consiste à générer une suite  , où le nouvel itéré   est calculé à partir de l'itéré courant   en résolvant (si possible) l'inclusion partiellement linéarisée

(JN)          

  est un opérateur linéaire valant   ou une approximation de cette dérivée (on pense ici surtout à des approximations quasi-newtoniennes). On ne « linéarise » donc que le premier terme qui est supposé différentiable ; le second est laissé inchangé. Sans hypothèse particulière, il se peut que l'inclusion fonctionnelle linéarisée (JN) n'ait pas de solution, auquel cas l'algorithme ne peut pas calculer l'itéré suivant   et doit s'arrêter. Par ailleurs, si la multifonction   est complexe, l'itération pourra requérir beaucoup de temps de calcul (elle est toutefois plus simple que le problème initial), mais la convergence locale rapide peut laisser espérer qu'une solution sera trouvée en très peu d'itérations. Il se peut aussi que l'on ne connaisse pas de méthode pour résoudre (JN), auquel cas il faudra se tourner vers d'autres algorithmes de résolution.

Ce schéma algorithmique prenant en compte un grand nombre de situations a été introduit par Josephy en 1979[1].

Examinons à présent quelques cas particuliers.

Exemples modifier

Problème de complémentarité modifier

Si   et si la multifonction   est le cône normal   à un cône convexe fermé non vide  , le problème d'inclusion fonctionnelle   s'écrit comme le problème de complémentarité non linéaire

 

Alors le schéma de Josephy-Newton   s'écrit comme le problème de complémentarité linéaire

 

dans lequel on s'est contenté de linéariser   en  .

Conditions d'optimalité d'un problème d'optimisation modifier

Lorsque l'algorithme de Josephy-Newton est appliqué aux conditions d'optimalité d'un problème d'optimisation avec contraintes d'égalité et d'inégalité, on retrouve l'optimisation quadratique successive.

Système d'égalités et d'inégalités modifier

Un système d'égalités   et d'inégalités  , avec les ensembles d'indices   et   formant une partition de  , peut s'écrire comme une inclusion fonctionnelle

 

en prenant comme multifonction  , la multifonction constante  , où   et  . L'algorithme de Josephy-Newton consiste dans ce cas à résoudre à l'itération   le système d'équations linéarisées en   suivant

 

Celui-ci peut ne pas avoir de solution, même lorsque   est proche d'un point   vérifiant les égalités   et les inégalités  , auquel cas l'algorithme doit s'interrompre.

Convergence modifier

Les résultats de cette section sont repris de Bonnans (1994).

Comportement asymptotique modifier

La notion de semistabilité permet d'avoir des conditions suffisantes de convergence superlinéaire et quadratique d'une suite générée par l'algorithme de Josephy-Newton.

Conditions suffisantes de convergence superlinéaire et quadratique — Supposons que   soit   dans le voisinage d'une solution semistable   de   et que la suite   vérifie la récurrence (JN) de l'algorithme de Josephy-Newton et converge vers  .

  1. Si  , alors la convergence de   est superlinéaire.
  2. Si   et si   est   dans un voisinage de  , alors la convergence de   est quadratique.

Corollaire — Supposons que   soit   dans le voisinage d'une solution semistable   de   et que la suite   vérifie la récurrence (JN) et converge vers  .

  1. Si  , alors la convergence de   est superlinéaire.
  2. Si   et si   est   dans un voisinage de  , alors la convergence de   est quadratique.

Convergence locale modifier

La semistabilité n'assure en rien l'existence d'une solution de l'équation linéarisée et donc d'un nouvel itéré de l'algorithme de Josephy-Newton, même si cet itéré est proche d'une solution. C'est la raison d'être de la propriété d'hémistabilité. En réalité, comme le montre le résultat suivant, c'est à la fois la semistabilité et l'hémistabilité d'une solution de   qui assurent le caractère bien posé de l'algorithme de Josephy-Newton démarrant proche de cette solution et la convergence de la suite générée vers celle-ci.

Convergence locale de l'algorithme de Josephy-Newton — Supposons que   soit   dans le voisinage d'une solution semistable et hémistable   de   et que   dans l'algorithme de Josephy-Newton (JN). Alors, il existe  , tel que si le premier itéré  , alors

  1. l'algorithme de Josephy-Newton peut générer une suite   dans  ,
  2. toute suite   générée dans   par l'algorithme de Josephy-Newton converge superlinéairement vers   (et quadratiquement si   est  ).

L'algorithme de Josephy-Newton peut donc générer une suite convergeant vers   si le premier itéré est assez proche d'une solution semistable et hémistable  , mais rien ne dit qu'il en sera ainsi si la solution de l'inclusion linéarisée n'est pas choisie assez proche de   à chaque itération.

Annexes modifier

Note modifier

  1. Voir Josephy (1979a) pour la version newtonienne et Josephy (1979b) pour la version quasi-newtonienne.

Articles connexes modifier

Lien externe modifier

Bibliographie modifier

  • (en) J.F. Bonnans (1994). Local analysis of Newton-type methods for variational inequalities and nonlinear programming. Applied Mathematics and Optimization, 29, 161–186.
  • (en) A.F. Izmailov, M.V. Solodov (2014). Newton-Type Methods for Optimization and Variational Problems, Springer Series in Operations Research and Financial Engineering, Springer.
  • (en) N.H. Josephy (1979a). Newton’s method for generalized equations. Technical Summary Report 1965, Mathematics Research Center, University of Wisconsin, Madison, WI, USA.
  • (en) N.H. Josephy (1979b). Quasi-Newton’s method for generalized equations. Summary Report 1966, Mathematics Research Center, University of Wisconsin, Madison, WI, USA.