L’algèbre géométrique conforme est un modèle mathématique de l'espace, établissant une correspondance injective[1] entre l'espace euclidien de dimension et une algèbre géométrique de dimension , telle que l'image de tout point est un vecteur nul et telle qu'il existe un vecteur nul avec lequel l'image de tout point donne un produit intérieur égal à un.
L'algèbre géométrique conforme ajoute à l'espace euclidien deux dimensions dotées d'une métrique pseudo-euclidienne . Cet espace est appelé plan de Minkowskii.
Deux vecteurs nuls de cet espace sont choisis. Ils sont notés et appelés respectivement origine et horizon. Ils sont choisis afin de satisfaire les relations suivantes[2]:
Il peut être montré que forment une base du plan de Minkowski. Cette base est appelée base nulle.
Le produit extérieur de l'horizon et de l'origine forme le pseudo-scalaire du plan de Minkowski. Il est noté avec un E majuscule.
La convention existe aussi mais ne sera pas utilisée dans cet article.
L'algèbre géométrique conforme découpe[3] une algèbre géométrique de dimension vectorielle en deux sous espaces : le plan de Minkowski et un espace de dimension visant à représenter un espace euclidien.
Les coefficients sont les coordonnées de dans le plan de Minkowski. Ils dépendent de de manière que satisfasse les relations définissant le modèle conforme.
↑Il est choisi ici de stipuler le caractère injectif de la correspondance pour éviter d'inclure le cas trivial .
↑Il existe plusieurs manières de définir l'origine et l'horizon, ainsi que différentes notations. Certains ouvrages utilisent notamment une convention différente pour la valeur du produit scalaire : . Ces différentes conventions ne changent pas fondamentalement les propriétés algébriques de l'algèbre géométrique conforme, et peuvent être assimilées à des divergences dans le choix des unités.
↑Ici le mot découpage et ses substantifs ont été choisis pour traduire le terme anglais split dans l'expression de Hestenes conformal split
↑Certaines sources utilisent la formule . La différence de signe semble être liée au choix différent pour le signe du produit scalaire entre l'origine et l'horizon.