En mécanique des fluides l'équation de Helmholtz est l'équation de transport de la vorticité (ou tourbillon) pour l'écoulement d'un fluide incompressible barotrope . Elle a été établie par Hermann von Helmholtz en 1858[ 1]
Cette équation est utilisée pour l'étude des mécanismes de turbulence et, dans le cas non visqueux, pour l'étude de l'atmosphère.
Équations de Navier-Stokes pour un milieu incompressible
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Les équations de Navier-Stokes pour un milieu incompressible s'écrivent
Équation d'incompressibilité
∇
⋅
V
=
0
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} =0}
Équation de bilan de la quantité de mouvement
∂
V
∂
t
+
∇
⋅
(
V
V
)
=
−
1
ρ
∇
p
+
ν
∇
2
V
+
g
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \left(\mathbf {V} \mathbf {V} \right)=-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {V} +\mathbf {g} }
où ρ est la masse volumique supposée variable, p la pression, V la vitesse et ν la viscosité cinématique du fluide. g est une force extérieure.
Équation de Helmholtz
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L'équation de quantité de mouvement ci-dessus peut s'écrire[ 2]
∂
V
∂
t
+
1
2
∇
V
2
+
Ω
×
V
=
−
1
ρ
∇
p
+
ν
∇
2
V
+
g
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\nabla V^{2}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {V} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {V} +\mathbf {g} }
On a introduit dans cette équation la vorticité
Ω
=
∇
×
V
{\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=\nabla \times \mathbf {V} }
en prenant le rotationnel de cette nouvelle équation il vient (on suppose g irrotationnel)
∂
Ω
∂
t
+
∇
×
(
Ω
×
V
)
=
1
ρ
2
∇
ρ
×
∇
p
+
ν
∇
2
Ω
{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\Omega }}}{\partial t}}+\nabla \times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {V} )={\frac {1}{\rho ^{2}}}\nabla \rho \times \nabla p+\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\Omega }}}
Le second terme se développe de la façon suivante
∇
×
(
Ω
×
V
)
=
(
V
⋅
∇
)
Ω
−
V
∇
⋅
Ω
⏟
≡
0
−
(
Ω
⋅
∇
)
V
+
Ω
∇
⋅
V
⏟
=
0
{\displaystyle \nabla \times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {V} )=(\mathbf {V} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\Omega }}-\mathbf {V} \,\underbrace {\nabla \cdot {\boldsymbol {\Omega }}} _{\equiv 0}-({\boldsymbol {\Omega }}\cdot \nabla )\mathbf {V} +{\boldsymbol {\Omega }}\,\underbrace {\nabla \cdot \mathbf {V} } _{=~0}}
Finalement l'équation de conservation de la vorticité s'écrit
∂
Ω
∂
t
+
(
V
⋅
∇
)
Ω
=
(
Ω
⋅
∇
)
V
+
ν
∇
2
Ω
+
Π
{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\Omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {V} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\Omega }}=({\boldsymbol {\Omega }}\cdot \nabla )\mathbf {V} +\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\Omega }}+\Pi }
où Π est le vecteur barocline
Π
=
1
ρ
2
∇
ρ
×
∇
p
{\displaystyle \Pi ={\frac {1}{\rho ^{2}}}\nabla \rho \times \nabla p}
Ce terme est nul pour un fluide barotrope . On obtient alors l'équation de Helmholtz
∂
Ω
∂
t
+
(
V
⋅
∇
)
Ω
=
(
Ω
⋅
∇
)
V
+
ν
∇
2
Ω
{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\Omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {V} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\Omega }}=({\boldsymbol {\Omega }}\cdot \nabla )\mathbf {V} +\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\Omega }}}
