Énergie orbitale spécifique

En mécanique spatiale, l'énergie orbitale spécifique de deux corps orbitants est la somme constante de leur énergie potentielle mutuelle () et de l'énergie cinétique totale (), divisé par leur masse réduite . Selon l'équation de la force vive, selon la Loi universelle de la gravitation cela donne l'équation qui ne varie pas avec le temps:

Considérant le mouvement d'un satellite ou une sonde autour d'un attracteur, en l'absence de perturbations orbitales, spécifique de l'énergie totale est conservée, l'équation est :

Pour chaque point de la trajectoire la loi de la conservation de l'énergie orbitale spécifique:

L'unité SI de l'énergie orbitale spécifique est : J/kg = m2s−2.

Conditions préalablesModifier

Certaines conditions, déjà connues de Loi universelle de la gravitation selon Newton, doivent d'abord être posées pour simplifier ce qui suit.

Deux masses en forme de point   et   sont dans le vide à la distance   l'une de l'autre. Seule la force de gravitation   agit, instantanément et quelle que soit la distance. Le système de coordonnées est inertiel.

En plus il est supposé que  . Il y a donc  , le corps central, dans l'origine du système de coordonnées et   est le satellite qui tourne autour. La masse réduite est égale à  . L'équation du problème à deux corps

 

décrit le mouvement.   est le paramètre gravitationnel standard et   (valeur absolue  ) est le vecteur de distance qui pointe depuis le corps central au satellite parce que la masse du satellite est négligeable[Notes 1].

C'est important de ne pas confondre le paramètre gravitationnel standard   avec la masse réduite dont le symbole est souvent   également.

Énergie orbitale spécifiqueModifier

 
Vecteur de distance  , vecteur de vitesse  , anomalie vraie   et angle de vol   de   en orbite autour de  . Les principales grandeurs de l'ellipse sont aussi dans la figure.

On obtient l'énergie orbitale spécifique en multipliant l'équation du problème à deux corps avec le vecteur   selon un produit scalaire

 

La figure à droite donne les relations

  •  
  •   (le changement du composant radial de  , ne pas confondre avec la valeur absolue   de  )
  •  

avec les différentielles suivantes

  •  
  •  

l'équation devient

 

Cela veut dire que la somme est constante (grandeur conservée). Et cette somme est exactement l'énergie par unité de masse du satellite, on reconnait l'énergie cinétique par unité de masse   et l'énergie potentielle par unité de masse   [Références 1]

 

avec la constante d'intégration  , qui peut être fixée au choix selon où  . En général on choisit   [Références 1].

En clair l'équation dit que l'énergie orbitale augmente avec la distance entre le satellite et le corps central et avec la vitesse du satellite. La convention   équivaut à ce que l'énergie orbitale spécifique est négative lorsque le satellite repose sur la surface ou est en orbite fermée. L'énergie est positive quand le satellite est en évasion du champ de gravité.

Équation de la force viveModifier

L'équation de l'énergie orbitale spécifique peut être transformée dans la forme traditionnelle de l'équation de la force vive. Il suffit de considérer l'énergie orbitale à une seule position sur l'orbite (elle est constante), par exemple en périapside. Avec le moment cinétique spécifique   la vitesse est

 

Pour un mouvement képlérien il convient

  •  
  •  

Pour résumer l'énergie orbital spécifique est :

 

à part pour un mouvement parabolique où  .

Quelques changements simples donnent la forme traditionnelle de l'équation de la force vive [Références 2]

 

Le rapport important   dit clairement que l'énergie d'un satellite dépend uniquement du paramètre gravitationnel standard et du demi-grand axe de l'orbite.

Cela est valable pour l'orbite elliptique:  ,  , qui contient l'orbite circulaire comme cas spécial  ; et pour l'orbite hyperbolique:  ,  . Dans le cas limite de l'orbite parabolique, l'énergie est 0.Le satellite se trouve alors à la limite entre capté dans le champ gravitationnel du corps central et évasion du champ gravitationnel du corps central.

ExemplesModifier

L'altitude, la vitesse tangentielle, la période de révolution et l'énergie orbitale spécifique de certaines orbites autour de la Terre
Orbite terrestre Distance entre les centres Altitude au dessus de la surface terrestre Vitesse orbitale Période de révolution Énergie orbitale spécifique
En repos à l'équateur sur la surface de la Terre (valeur comparative, pas une orbite) 6 378 km 0 km 465,1 m/s 1 jour (24h) −62,6 MJ/kg
Orbite à hauteur de la surface de la Terre (équateur) 6 378 km 0 km 7.9 km/s 1 h 24 min 18 s −31,2 MJ/kg
Orbite terrestre basse 6 600 à 8 400 km 200 à 2000 km Cercle: 6,9 à 7,8 km/s
Ellipse: 6,5 à 8,2 km/s
1 h 29 min à
2 h 8 min
−29,8 MJ/kg
Orbite de Molnia 6 900 à 46 300 km 500 à 39 900 km 1,5 à 10,0 km/s 11 h 58 min −4,7 MJ/kg
Orbite géostationnaire 42 000 km 35 786 km 3,1 km/s 23 h 56 min −4,6 MJ/kg
Orbite de la Lune 363 000 à 406 000 km 357 000 à 399 000 km 0,97 à 1,08 km/s 27,3 jours −0,5 MJ/kg

Articles connexesModifier

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. On n'est pas obligé de faire cette supposition pour dériver l'énergie orbitale spécifique. Alors l'origine du système de coordonnées est le barycentre, le paramètre gravitationnel standard   et   reste la masse réduite (pas  ). Mais cette simplification est bonne dans la plupart des cas et les dérivations de l'énergie orbitale spécifique et de l'équation de la force vive sont plus simples.

RéférencesModifier

  1. a et b (en) David A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, Hawthorne, CA, Micorcosm Press, , 1106 p. (ISBN 9781881883180), p. 26
  2. (en) David A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications, Hawthorne, CA, Micorcosm Press, , 1106 p. (ISBN 9781881883180), p. 27