Test des rangs signés de Wilcoxon

En statistique, le test des rangs signés de Wilcoxon est une alternative non-paramétrique au test de Student pour des échantillons appariés. Le test s'intéresse à un paramètre de position : la médiane, le but étant de tester s'il existe un changement sur la médiane.

Test de Wilcoxon

Type	Test statistique, paired difference test (en)
Nommé en référence à	Frank Wilcoxon

Conditions du test

La procédure considère que les variables étudiées ont été mesurées sur une échelle permettant d'ordonner les observations en rangs pour chaque variable (c'est-à-dire une échelle ordinale) et que les différences de rangs entre variables ont un sens.

C'est pourquoi les conditions requises pour réaliser ce test sont plus contraignantes que celles du test des signes. Toutefois, si ces conditions sont remplies, c'est-à-dire si les différences (ex: différents taux pour un même individu) contiennent des informations exploitables, ce test sera plus puissant que le test des signes.

En fait, si les conditions du test T paramétrique pour des échantillons appariés sont remplies, ce test est presque aussi puissant que le test T.

Les données consistent en $2n$ observations, deux observations pour chaque sujet n

Sujet i	$X_{i}$	$Y_{i}$
1	$X_{1}$	$Y_{1}$
2	$X_{2}$	$Y_{2}$
.	.	.
$n$	$X_{n}$	$Y_{n}$

On note $Z_{i}:=Y_{i}-X_{i},i=1,\dots ,n$ et ces différences sont supposées mutuellement indépendantes. Chaque $Z$ provient d'une population continue (pas nécessairement la même) et est symétrique autour d'une médiane commune $\theta$. On note $F_{i}$la loi de $Z_{i}$on suppose que :

$F_{i}(\theta +t)-F_{i}(\theta -t)=0,$ pour tout t. Le paramètre $\theta$ est nommé "treatment effect"

Procédure du test

L'hypothèse nulle est $H_{0}:\theta =0$.

Pour calculer la statistique de test des rangs signés de Wilcoxon $T^{+}$, on range du plus petit au plus grand les valeurs absolues des différences $|Z_{i}|,\dots ,|Z_{n}|$ et l'on note $R_{i}$ le rang de $|Z_{i}|$. On définit la fonction indicatrice $\psi _{i}$qui est égale à 1 si $Z_{i}>0$ et 0 si $Z_{i}\leqslant 0$.

La statistique de test est alors $T^{+}=\sum _{i=1}^{n}R_{i}\psi _{i}$.

• Test unilatéral à droite $H_{1}:\theta >0$

On rejette $H_{0}$ si $T^{+}\geqslant t_{\alpha }$où $t_{\alpha }$ est choisi tel que le risque de première espèce est égale à $\alpha$, le niveau de signification statistique.

• Test unilatéral à gauche ${\textstyle H_{2}:\theta <0}$

On rejette $H_{0}$ si $T^{+}\leqslant {\frac {n(n+1)}{2}}-t_{\alpha }$

• Test bilatéral $H_{3}:\theta \neq 0$

On rejette $H_{0}$ si $T^{+}\leqslant {\frac {n(n+1)}{2}}-t_{\alpha /2}$ou $T^{+}\geqslant t_{\alpha /2}$.

Les valeurs critiques $t_{\alpha }$ peuvent être obtenues avec la fonction R qsignrank .

Implémentation

• wilcox.test(x, y, paired = TRUE) avec la bibliothèque "stats" de R.