Feuille brownienne

En mathématiques, une feuille brownienne est une généralisation multiparamétrique du mouvement brownien à un champ gaussien, plus précisément une généralisation du paramètre "temps" $t\in \mathbb {R} _{+}$ d'un mouvement brownien $B_{t}$ de temps $t\in \mathbb {R} _{+}^{n}$.

La dimension exacte $n$ de l'espace du nouveau paramètre temporel varie selon les auteurs. L'article présent suit John B. Walsh et définit la feuille (n,d)-brownienne, tandis que certains auteurs définissent la feuille brownienne spécifiquement uniquement pour $n=2$.

(n,d)-feuille brownienne

Un processus gaussien $B=(B_{t},t\in \mathbb {R} _{+}^{n})$ de dimension $d$ est une (n,d)-feuille brownienne, si

• la moyenne est $\mathbb {E} [B_{t}]=0$ pour tous $t=(t_{1},\dots t_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{n}$
• la fonction de covariance est

$\operatorname {cov} (B_{s}^{(i)},B_{t}^{(j)})={\begin{cases}\prod \limits _{l=1}^{n}s_{l}\wedge t_{l}&{\text{si }}i=j,\\0&{\text{sinon}}\end{cases}}$

pour tous $1\leq i,j\leq d$.

Propriétés

• $B(0,t_{2},\dots ,t_{n})=B(t_{1},0,\dots ,t_{n})=\cdots =B(t_{1},t_{2},\dots ,0)=0$ presque sûrement.

Exemples

• La $(1,1)$-feuille brownienne est le mouvement brownien en $\mathbb {R} ^{1}$.
• La $(1,d)$-feuille brownienne est le mouvement brownien en $\mathbb {R} ^{d}$.
• La $(2,1)$-feuille brownienne $X_{t,s}$ est le mouvement brownien de dimension $\mathbb {R} ^{1}$ et de temps $(t,s)\in \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}$.

Bibliographie

• John B. Walsh, An introduction to stochastic partial differential equations, Springer Berlin Heidelberg, 1986 (ISBN 978-3-540-39781-6), p. 269
• Davar Khoshnevisan, Multiparameter Processes: An Introduction to Random Fields, Springer (ISBN 978-0387954592)