Wikipédia:Lumière sur/Loi binomiale

Ce « Lumière sur » a été ou sera publié sur la page d'accueil de l'encyclopédie le samedi 21 février 2015.

En théorie des probabilités et en statistique, la loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus lors de la répétition indépendante de plusieurs expériences aléatoires identiques. Une manière visuelle de représenter cette suite d'expériences est d'utiliser un arbre de probabilité : à chaque génération de l'arbre, deux branches partent de chaque nœud, une pour le succès et une pour l'échec.

Plus mathématiquement, cette loi de probabilité discrète est décrite par deux paramètres : $\scriptstyle n$ le nombre d'expériences réalisées et $\scriptstyle p$ la probabilité de succès. Pour chaque expérience appelée épreuve de Bernoulli, on utilise une variable aléatoire qui prend la valeur 1 lors d'un succès et la valeur 0 sinon. La variable aléatoire, somme de toutes ces variables aléatoires, compte le nombre de succès et est de loi binomiale. Il est alors possible d'obtenir la probabilité de $\scriptstyle k$ succès dans une répétition de $\scriptstyle n$ expériences :

\mathbb {P} (X=k)={n \choose k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}

.

Cette formule fait intervenir le coefficient binomial $\scriptstyle {n \choose k}$ duquel provient le nom de la loi.

L'importance de cette loi est d'abord historique puisqu'elle a été l'objet d'étude du théorème de Moivre-Laplace, résultat du xviii^e siècle fondateur des théorèmes de convergence. La loi a également son utilité pour modéliser des situations simples de succès ou échec, un jeu de pile ou face par exemple. Le calcul de sa fonction de masse devient rapidement fastidieux lorsque $\scriptstyle n$ est grand, il est alors possible d'utiliser des approximations par d'autres lois de probabilité telles que la loi de Poisson ou la loi normale et d'utiliser des tables de valeurs.

La loi binomiale est utilisée dans divers domaines d'étude, notamment à travers des tests statistiques qui permettent d'interpréter des données et de prendre des décisions dans des situations dépendant de l'aléa. De par la simplicité de sa définition, c'est l'une des lois de probabilité étudiées dans les cours d'introduction à la théorie des probabilités.

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