Variété jacobienne

En géométrie algébrique, la jacobienne d'une courbe $C$ est une variété algébrique (en fait une variété abélienne) qui paramètrise les diviseurs de degré 0 sur $C$. C'est un objet fondamental pour l'étude des courbes, et c'est aussi un exemple « concret » de variété abélienne qui sert de variété test.

Définition

On fixe une courbe algébrique projective lisse $C$ de genre au moins 1 sur un corps $k$. Dans une première approximation, on peut dire que sa jacobienne $J$ est une variété algébrique dont les points correspondent aux diviseurs de degré 0 sur $C$ modulo équivalence rationnelle. Comme ces derniers forment naturellement un groupe, $J$ est même un groupe algébrique.

De façon rigoureuse: on considère le foncteur de Picard (faisceautisé) $\mathrm {Pic} _{C/k}$. Ce foncteur est représentable par un schéma en groupes lisse localement de type fini. La composante connexe de l'élément neutre, notée $\mathrm {Pic} _{C/k}^{0}$ est appelée la jacobienne de $C$.

On montre que $J$ est une variété abélienne.

On note par $\mathrm {Pic} ^{0}(C)$ le groupe des diviseurs de degré 0 sur $C$ modulo équivalence rationnelle. Par construction, on a un homomorphisme de groupes injectif

$\mathrm {Pic} ^{0}(C)\hookrightarrow J(k)$

dont le conoyau est un sous-groupe du groupe de Brauer de k. Supposons pour simplifier que $C$ admet un point rationnel P. Alors l'homomorphisme ci-dessus est un isomorphisme. En particulier, sur la clôture algébrique ${\bar {k}}$ de $k$, on a toujours un isomorphisme de groupes $\mathrm {Pic} ^{0}(C_{\bar {k}})\to J({\bar {k}}).$

Exemple Si $C$ est une courbe de genre 1, alors $J$ est une courbe elliptique, isomorphe à $C$ comme variétés algébriques si $C$ admet un point rationnel.

Propriétés

• $J$ est une variété abélienne de dimension $g$ si $g=g(C)$ est le genre de $C$.
• Si $C$ possède un point rationnel $P$, alors on a une immersion fermée $i:C\to J$ qui envoie $P$ sur 0 (élément neutre de $J$) et tout point rationnel $Q$ sur la classe du diviseur de degré 0 $Q-P$ dans $\mathrm {Pic} ^{0}(C)$. De plus tout morphisme $C\to A$ dans une variété abélienne $A$ qui envoie $P$ sur 0 se factorise en $i:C\to J$ et un morphisme de variétés abéliennes $J\to A$.
• Sous l'hypothèse ci-dessus, pour tout entier positif $r$, il existe un morphisme $f_{r}:C^{(r)}\to J$ du produit symétrique $C^{(r)}$ (le quotient de $C^{r}$ par le groupe symétrique $S_{r}$ opérant par 'permutation des coordonnées') dans la jacobienne. Ensemblistement, $f_{r}$ envoie une somme $x_{1}+\ldots +x_{r}$ de $r$ points rationnels sur la classe du diviseur $(x_{1}+\ldots +x_{r})-rP$. Le morphisme $f_{g}$ est birationnel. L'image de $f_{r-1}$ est un diviseur dans $J$, appelé diviseur théta $\theta$.
• Le diviseur $\theta$ induit un isomorphe de $J$ avec sa variété abélienne duale. On dit que $J$ est autoduale.
• Toute variété abélienne est un quotient d'une jacobienne.

Bibliographie

(en) J. Milne, « Jacobian varieties », in Arithmetic Geometry, ed. Cornell, Silverman, Springer-Verlag.