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Les mathématiques tropicales sont une branche des mathématiques correspondant à l'étude d'un système modifié grâce à la redéfinition de l'addition et de la multiplication (et conséquemment d'autres opérations). Les mathématiques tropicales sont généralement définies grâce au minimum et à l'addition, mais le terme est parfois utilisé pour désigner l'algèbre max-plus, définie grâce au maximum et à l'addition.

Les mathématiques tropicales furent dénommées ainsi en l'honneur de leur inventeur brésilien, Imre Simon.

Algèbre max-plus

Opérateurs mathématiques

Définitions des opérateurs

• On définit l'addition tropicale $\oplus$ telle que :
  

$a\oplus b=max(a,b)$.
Le résultat de l'addition tropicale de deux nombres est donc le maximum de ceux-ci. Ainsi, $2\oplus 3=max(2,3)=3$.

• On définit la multiplication tropicale (ou produit tropical) $\odot$ (ou $\otimes$) telle que :
  

$a\odot b=a+b$.
Le résultat de la multiplication tropicale de deux nombres est donc la somme usuelle de ceux-ci. Ainsi, $2\odot 3=2+3=5$.

Propriétés

Propriétés des opérations tropicales comparées à celles des opérations usuelles

Dans $\mathbb {R}$	Addition tropicale	Addition	Multiplication tropicale (mêmes propriétés que l'addition usuelle)	Multiplication
Commutativité	Oui $a\oplus b=b\oplus a$ car $max(a,b)=max(b,a)$ Exemple : $2\oplus 3=3$ et $3\oplus 2=3$	Oui a + b = b + a Exemple : 2 + 3 = 5 et 3 + 2 = 5	Oui $a\odot b=b\odot a$ car a + b = b + a Exemple : $2\odot 3=5$ et $3\odot 2=5$	Oui a x b = b x a Exemple : 2 x 3 = 6 et 3 x 2 = 6
Associativité	Oui $(a\oplus b)\oplus c=a\oplus (b\oplus c)=a\oplus b\oplus c$ Exemple : $(2\oplus 5)\oplus 6=5\oplus 6=6$ $2\oplus (5\oplus 6)=2\oplus 6=6$ $2\oplus 5\oplus 6=6$ Démonstration Soient trois réels a, b et c tels que $a\leq b\leq c$. Alors $(a\oplus b)=b$ donc $(a\oplus b)\oplus c=b\oplus c$. Or, $b\leq c$ donc $b\oplus c=c$. Donc, $(a\oplus b)\oplus c=c$ De même, $(b\oplus c)=c$ donc $a\oplus (b\oplus c)=a\oplus c$. Or, $a\leq c$ donc $a\oplus c=c$. Donc, $a\oplus (b\oplus c)=c$ De plus, $a\oplus b\oplus c=c$ car $a\leq b\leq c$. On a prouvé que $(a\oplus b)\oplus c=a\oplus (b\oplus c)=a\oplus b\oplus c$.	Oui (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c Exemple: (2 + 5) + 6 = 13 2 + (5 + 6) = 13 2 + 5 + 6 = 13	Oui $(a\odot b)\odot c=a\odot (b\odot c)=a\odot b\odot c$ Exemple : $(2\odot 5)\odot 6=13$ $2\odot (5\odot 6)=13$ $2\odot 5\odot 6=13$	Oui (a x b) x c = a x (b x c) = a x b x c Exemple: (2 x 5) x 6 = 60 2 x (5 x 6) = 60 2 x 5 x 6 = 60
Élément neutre	Pas d'élément neutre dans $\mathbb {R}$ Pour disposer d'un élément neutre, on travaille dans $\mathbb {R} \cup \{-\infty \}$. L'élément neutre est alors $-\infty$. En effet, $a\oplus (-\infty )=max(a,-\infty )=a$.	0 En effet, a + 0 = a	0 En effet, $a\odot 0=a$	1 En effet, a x 1 = a
Élément symétrique de a	Pas d'élément symétrique.	-a En effet, a + (-a) = 0.	-a En effet, $a\odot (-a)=0$.	${\frac {1}{a}}$ En effet, $a\times {\frac {1}{a}}=1$.
Élément absorbant	Pas d'élément absorbant dans $\mathbb {R}$ Pour disposer d'un élément absorbant, on travaille dans $\mathbb {R} \cup \{+\infty \}$. L'élément neutre est alors $+\infty$. En effet, $a\oplus (+\infty )=max(a,+\infty )=+\infty$.	Pas d'élément absorbant.	Pas d'élément absorbant.	0 En effet, $a\cdot 0=0\cdot a=0$.
Titre ligne 5	donnée L5-A	donnée L5-B	donnée L5-C	donnée L5-D
Dans $\mathbb {R}$	Addition tropicale	Addition	Multiplication tropicale (mêmes propriétés que l'addition usuelle)	Multiplication

Opérateur découlant des précédents

La puissance tropicale, que l'on notera $a^{\odot b}$, avec a un réel et b un entier naturel, correspond à la multiplication usuelle.

En effet,

$a^{\odot b}=a\odot \cdots \odot a(bfois)=a+\cdots +a(bfois)=b\times a$.

Équations

Équations à une inconnue

Du premier degré

Avec des produits tropicaux

Les équations à une inconnue comprenant uniquement des produits tropicaux, de type $a\odot b=c$ (avec a, b et c trois réels et a l'inconnue) se résolvent en passant par les mathématiques usuelles. $a\odot b=c\Leftrightarrow a+b=c\Leftrightarrow a=c-b$.

Exemple : $a\odot (-5)=-10\Leftrightarrow a+(-5)=-10\Leftrightarrow a=-10-(-5)\Leftrightarrow a=-5$

Avec des additions tropicales

Les équations à une inconnue comprenant des additions tropicales, du type $a\oplus b=c$ (avec a, b et c trois réels et a l'inconnue) ne peuvent être résolues que si $b\leq a$, et alors a = c. En effet, c étant le maximum de a et b, il est égal à l'un des deux, ce qui ne permet pas de retrouver l'autre. On peut toutefois déduire l'inéquation $a\leq c$.

Exemples :

• $a\oplus (-5)=3\Leftrightarrow max(a;-5)=3\Leftrightarrow a=3$
• $a\odot (-5)=-5\Leftrightarrow max(a;-5)=-5$
  

On ne peut connaître précisément a mais on sait cependant que $a\leq -5$.

Résolution

Soit une équation du type $a\odot x\oplus b=c$ (avec a, b,c et x quatre réels et x l'inconnue).

Cela correspond dans les mathématiques usuelles à $max(a+x;b)=c$. Il y a alors deux possibilités:

• b = c : b est alors le maximum et on ne peut que déduire l'inéquation $a+x\leq c$ soit $x\leq c-a$.
• b < c : a + x est alors le maximum, on en déduit a + x = c soit x = c - a.

Du deuxième degré

Résolution

Soit une équation du type $a\odot x^{\odot 2}\oplus b\odot x\oplus c=d$ (avec a, b,c, d et x cinq réels et x l'inconnue).

Cela correspond dans les mathématiques usuelles à
$max(a+2\times x;b+x;c)=d$

$max(a+2\times x-d;b+x-d;c-d)=0$

$max(2\times x+(a-d);x+(b-d);c-d)=0$
Il y a alors plusieurs possibilités :

• Le maximum est $2\times x+(a-d)$ alors $2\times x+(a-d)=0\Leftrightarrow 2\times x=d-a\Leftrightarrow x={\frac {d-a}{2}}$
• Le maximum est $x+(b-d)$ alors $x+(b-d)=0\Leftrightarrow x=d-b$
• Le maximum est c - d alors on ne connait pas x, on sait seulement que $x\leq {\frac {d-a}{2}}$ et $x\leq d-b$

Géométrie

À partir de ces opérateurs, il est ensuite possible de représenter l'équivalent tropical de diverses figures géométriques.

Droite tropicale

L'équation d'une droite du plan dans les mathématiques usuelles est de la forme (avec a, b et c trois réels tels que l'un des deux premiers ne soit pas 0) :

$a\times x+b\times y+c=0$.

On adapte cette équation en polynôme tropical car on ne peut résoudre ce type d'équation. Cela donne :

$a\odot x\oplus b\odot y\oplus c$, que l'on réadapte en mathématiques usuelles :

max (a + x ; b + y ; c).

Annexes

Articles connexes

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Bibliographie

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