Utilisateur:Quarantedeux/Brouillon2

En mathématiques et dans un espace vectoriel de dimension 3, un pseudo-vecteur est un bivecteur simple c'est-à-dire pouvant s'écrire comme le produit extérieur de deux vecteurs. Il peut être représenté par une forme bilinéaire alternée ou par un tenseur antisymétrique. Si l'espace est euclidien et orienté, on lui fait correspondre un vecteur appelé vecteur dual.

Par exemple, la vitesse des points d'un solide en rotation dans l'espace est parfaitement décrite par un tenseur antisymétrique c'est-à-dire un pseudo-vecteur. Cependant, il est plus pratique d'utiliser son vecteur dual car celui-ci indique (entre autres) la direction de l'axe de rotation. En physique ce vecteur est appelé tout naturellement vecteur axial. En physique les termes vecteur axial et pseudovecteur sont considérés comme synonymes ce qui peut conduire à des confusions avec le terme mathématique.

Le vecteur axial ${\boldsymbol {B}}$ représentant le champ magnétique est orthogonal au plan de l'écran et pointe vers l'avant. En absence de champ électrique, la force de Lorentz s'exerce sur une particule selon une direction orthogonale au vecteur ${\boldsymbol {B}}$ et se situe donc dans le plan.

En physique, les vecteurs ont d'abord été utilisés pour représenter des actions liées à des mouvements localement rectilignes. Ainsi la force qui s'exerce sur un objet selon un sens et une intensité peut être représentée par un vecteur dit vecteur polaire. Dans le cas d'un vecteur axial, l'action n'est plus dans la direction du vecteur mais dans une direction orthogonale au vecteur. Les vecteurs axiaux sont toujours utilisés en relation avec le produit vectoriel ce qui permet de préciser leur usage.

Le caractère polaire ou axial d'un vecteur est donc une notion physique qui n'a aucun équivalent mathématique. Elle indique seulement comment le vecteur doit être utilisé et n'affecte aucunement le vecteur lui même. Il faut donc rejeter l'appellation de " faux vecteur " dont est parfois affublé le vecteur axial.

Point de vue physique

Choix de l'orientation de l'espace

Illustration de la règle du tire bouchon. Le vecteur étant représenté par l'orientation du pouce, l'index donne le sens positif de rotation.

Un vecteur axial indique donc la direction de l'axe de rotation. Mais cela ne suffit pas : il faut aussi indiquer dans quel sens on tourne. Orienter l'espace, c'est indiquer quel est le sens positif de rotation. Pour cela, on utilise une convention : le sens positif de rotation autour de l'axe défini par le vecteur est obtenu en utilisant la règle du tire-bouchon de Maxwell. Ce sens positif de rotation est pour l'espace ce que le sens trigonométrique est pour le plan. D'ailleurs, si l'on considère le vecteur orthogonal au plan trigonométrique et orienté vers l'avant, cette convention redonne le sens trigonométrique. Comme c'est la main droite qui est utilisée (la main gauche donnerait le sens contraire), on dit que l'espace physique est orienté à droite. Cette règle, en association avec la règle de la main droite est utilisée pour représenter le produit vectoriel.

Si on avait choisi d'orienter l'espace physique à gauche, la même rotation aurait été représentée par le vecteur axial opposé. Par conséquent, dans les dessins, les vecteurs polaires resteraient inchangés alors que les vecteurs axiaux seraient remplacés par leur opposé (par contre, il n'y aurait aucune modification dans les formules). On exprime cela en disant qu'un vecteur axial dépend de l'orientation de l'espace (ou encore de l'orientation du trièdre de référence). Cela sert parfois de définition pour un vecteur axial.

Transformation physique

En mathématiques, un automorphisme de $E$ (c'est-à-dire un endomorphisme de $E$ inversible ) est souvent appelé une transformation de $E$ et l'image d'un élément (par cette transformation) est appelée son transformé. On se limitera ici aux transformations isométriques.

Vectoriellement, une isométrie directe est une rotation alors qu'une isométrie indirecte est, à une rotation près, soit une symétrie plane soit une inversion de l'espace. Parmi les isométries indirectes, la première est simple à visualiser (comme l'image dans un miroir), la seconde appelée aussi symétrie P est simple à utiliser dans les formules.

Une boucle de courant électrique (en noir), crée un champ magnétique (en bleu) représenté à gauche par le vecteur axial ${\boldsymbol {B}}$. Si on considère le système symétrique par rapport à un plan (en tirets) dans lequel le vecteur courant ${\boldsymbol {I}}$ est réfléchi, alors le champ magnétique est représenté à droite par le vecteur axial ${\boldsymbol {B'}}$ (noté encore ${\boldsymbol {B}}$ sur la figure). Pour obtenir ${\boldsymbol {B'}}$, le vecteur ${\boldsymbol {B}}$ doit être réfléchi et inversé. Autrement dit, ${\boldsymbol {B'}}$ est l'opposé du symétrique de ${\boldsymbol {B}}$.

En physique, en association avec une transformation mathématique, on utilise aussi une autre transformation plus proche des concepts physiques. Par exemple dans le schéma ci-contre le vecteur ${\boldsymbol {B}}$ représente le champ magnétique de la partie gauche. Son transformé physique est le vecteur qui représente le champ magnétique dans la partie droite c'est-à-dire ${\boldsymbol {B'}}$ (noté encore ${\boldsymbol {B}}$ sur la figure). Par contre le transformé mathématique de ${\boldsymbol {B}}$ est son symétrique par rapport au plan et il n'est pas égal à ${\boldsymbol {B'}}$ : c'est l'opposé. Cette ambiguïté concernant la transformation est à l'origine de la plupart des confusions. Par la suite, pour éviter ce problème, le transformé mathématique sera appelé « image  » et le transformé physique sera simplement appelé « transformé  ».

De façon générale

« Un système physique isolé quelconque fait appel pour sa description non seulement à des coordonnées de position mais à des grandeurs moins immédiatement liées à des positions. Ces grandeurs sont usuellement classées dans le cadre des entités tensorielles en grandeurs scalaires (masse, charge électrique, masse magnétique, énergie $\dots$) et vectorielles (vitesse, accélération, champ électrique, champ magnétique, force, moment cinétique, couple $\dots$), en nous désintéressant pour la simplicité de l'exposé, des grandeurs tensorielles d'ordre plus élevées. »

Si l'on considère deux systèmes dont les éléments de position se correspondent à l'aide d'une isométrie (en supposant que ces systèmes restent isolés) on peut, pour chacun d'eux, définir les autres grandeurs à l'aide des lois physiques qui constituent la théorie utilisée. Se pose alors la question de savoir comment se correspondent ces grandeurs et en particuliers les vecteurs. Autrement dit, il reste à déterminer la transformation physique.

Si l'isométrie est directe (comme une rotation) tous les vecteurs se correspondent selon la transformation mathématique. Par contre si l'isométrie est indirecte (comme une symétrie plane ou centrale), les lois de la physique montrent que les vecteurs dits polaires se correspondent selon la transformation mathématique alors que les vecteurs dits axiaux sont les opposés de leur correspondant mathématique. Il faut bien remarquer que cette distinction « polaire/axial » ne concerne que la transformation physique et non la transformation mathématique. C'est la confusion entre ces deux transformations (physique et mathématique) qui conduit à qualifier un vecteur axial de " faux " vecteur croyant ainsi expliquer l'origine du mot « pseudo-vecteur », le préfixe pseudo étant alors pris dans son sens étymologique (c'est-à-dire " faux ").

Les vecteurs sont des objets mathématiques que la physique utilise comme bon lui semble. Pour rester en conformité avec les lois physiques en vigueur, la transformation physique est ainsi amenée à transformer les vecteurs d'une manière ou d'une autre selon qu'ils sont dits polaires ou axiaux. C'est une attitude pragmatique visant à combler une lacune d'un modèle mathématique simple, performant mais très légèrement insuffisant. Il ne faut pas vouloir théoriser cela et prétendre que les vecteurs, objets mathématiques, sont de " nature " différente comme une conception aristotélicienne pourrait y inciter.

On utilise donc la règle pratique suivante :

L'ingérence de la physique dans les calculs mathématiques est assez inhabituelle (mais concerne néanmoins tous les vecteurs dits axiaux). D'ordinaire cette ingérence est inutile car le physicien choisit soigneusement l'outil mathématique dont les propriétés reflètent complètement celles du phénomène étudié (à tel point que souvent on commet l'abus de langage qui consiste à identifier le concept physique avec son modèle mathématique). Ce n'est manifestement pas le cas ici pour diverses raisons (notamment historiques et pratiques). Il existe d'autres modèles ne possédant pas cet inconvénient (somme toute assez mineur) mais ils sont plus complexes.

Exemples

Le produit vectoriel est noté $\times$ pour des raisons qui sont donnée ici.

Electromagnétisme

• vecteurs polaires : vecteur champ électrique ${\boldsymbol {E}}$, potentiel vecteur ${\boldsymbol {A}}$.
• bivecteur (c'est-à-dire pseudo-vecteur) « bivecteur  » et « pseudo-vecteur » sont des termes généraux : dans l'exemple qui suit, on parle plutôt de tenseur antisymétrique ou de 2-forme différentielle : bivecteur (ou tenseur) champ magnétique ${\boldsymbol {F}}=\mathbf {d} {\boldsymbol {A}}$ où $\mathbf {d}$ est la dérivée extérieure. En coordonnées cartésiennes cela donne $F_{ij}=\partial _{i}A_{j}-\partial _{j}A_{i}$ où $\partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$. C'est la partie du tenseur de Maxwell qui représente uniquement le champ magnétique.
• vecteur axial : vecteur champ magnétique ${\boldsymbol {B=\star F}}$ est le vecteur dual du bivecteur champ magnétique. Il représente aussi le champ magnétique. Ces deux représentations sont complémentaires.

Vecteurs axiaux

• le moment cinétique, moment de la quantité de mouvement : ${\overset {\hookrightarrow }{L_{\mathrm {O} }}}={\overrightarrow {\mathrm {OM} }}\times {\vec {p}}$
• le moment d'une force : ${\overset {\hookrightarrow }{\Gamma _{\mathrm {O} }}}={\overrightarrow {\mathrm {OM} }}\times {\vec {F}}$
• le champ magnétique (loi de Biot et Savart : ${\overset {\hookrightarrow }{\mathrm {d} B}}=\left({\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\right){\frac {{\vec {r}}\times {\vec {\mathrm {d} l}}}{r^{3}}}$
• le moment magnétique : ${\overset {\hookrightarrow }{\mathrm {d} \mu }}={\frac {1}{2}}\,{\vec {r}}\times {\vec {j}}\;\mathrm {d} V$
• la vorticité d'un fluide, rotationnel du champ de vitesse : ${\overset {\hookrightarrow }{\omega }}={\overset {\hookrightarrow }{\operatorname {rot} }}({\vec {v}})$
• la vitesse angulaire.

Le produit vectoriel du vecteur axial vitesse angulaire et du vecteur rayon jusqu'au centre de rotation donne la vitesse du point considéré : c'est la formule de Varignon.

Le produit vectoriel du vecteur axial accélération angulaire et du rayon vecteur donne l'accélération du point considéré.

D'une manière générale, un bivecteur (= pseudo-vecteur) peut être utilisé pour représenter un angle plan, un élément de surface orientée ou une répartition surfacique.

Produit vectoriel

• Si ${\vec {a}}$ et ${\vec {b}}$ sont des vecteurs polaires, alors ${\overset {\hookrightarrow }{p}}={\vec {a}}\times {\vec {b}}$ est un vecteur axial.
• Si ${\vec {a}}$ est un vecteur polaire et ${\overset {\hookrightarrow }{b}}$ un vecteur axial, alors ${\vec {p}}={\vec {a}}\times {\overset {\hookrightarrow }{b}}$ est un vecteur polaire.

C'est notamment le cas du vecteur de Poynting en électromagnétisme  : ${\boldsymbol {S}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}$.

• Si ${\overset {\hookrightarrow }{a}}$ et ${\overset {\hookrightarrow }{b}}$ sont des vecteurs axiaux, alors ${\overset {\hookrightarrow }{p}}={\overset {\hookrightarrow }{a}}\times {\overset {\hookrightarrow }{b}}$ est un vecteur axial.

Torseurs

• Dans le cas d'un torseur cinétique, dynamique ou statique, la résultante est un vecteur polaire et le moment est un vecteur axial.
• Dans le cas d'un torseur cinématique, la résultante est un vecteur axial et le moment est un vecteur polaire.

Point de vue mathématique

Notations

Par la suite, $E$ désigne un espace vectoriel euclidien de dimension $n$. Pour simplifier, certaines notions ne seront développées que dans le cas $n=3$. On note $E^{*}$ l'espace dual de $E$ c'est-à-dire l'espace vectoriel des formes linéaires sur $E$. A tout vecteur $u\in E$ on fait correspondre la forme linéaire $u^{*}\in E^{*}$ définie par $x\mapsto u\centerdot x$ (où $\centerdot$ est le produit scalaire). L'application linéaire $u\mapsto u^{*}$ est un isomorphisme de $E$ sur $E^{*}$. Cet isomorphisme canonique permet d'identifier $E$ et $E^{*}$ et on écrit $u$ à la place de $u^{*}$. Par la suite, quand on parlera d'un vecteur (sans préciser davantage) on parlera indifféremment d'un élément de $E$ ou d'un élément de $E^{*}$.

Pour $2\leq p\leq n$ on note $A^{p}(E)$ l'espace vectoriel des p-formes alternées définies sur $E$. On complète ces notations en posant $A^{0}(E)=\mathbf {R}$, $A^{1}(E)=E^{*}=E$ et $A^{p}(E)=\lbrace 0\rbrace$ pour $p>n$. La dimension de l'espace vectoriel $A^{p}(E)$ est ${\tbinom {n}{p}}$ avec la convention ${\tbinom {n}{p}}=0$ si $p>n$. Les espaces vectoriels $A^{p}(E)$ et $A^{n-p}(E)$ ont donc la même dimension et il existe une bijection canonique (au signe près) appelée loi étoile de Hodge qui les met en dualité. Ces espaces sont dits duaux l'un de l'autre, le contexte permettant de ne pas confondre avec l'espace dual $E^{*}$.

On note $A(E)$ la somme directe de ces espaces vectoriels, c'est-à-dire

$A(E)=A^{0}(E)\oplus A^{1}(E)\oplus A^{2}(E)\cdots \oplus A^{n}(E)$

Les éléments de $A(E)$ sont appelés des formes extérieures et ceux de $A^{p}(E)$ des p-formes extérieures ou des p-vecteurs. Dans le cas particulier où $p=n$, les éléments non nuls de $A^{n}(E)$ sont appelés des formes volumes.

Produit extérieur

Afin de distinguer le produit extérieur et le produit vectoriel de deux vecteurs $u$ et $v$ , on utilisera de façon exclusive la notation $u\wedge v$ pour le produit extérieur (notation universelle donc incontournable) et la notation $u\times v$ pour le produit vectoriel (notation extrêmement répandue, même si elle n'est pas encore utilisée partout dont en France).

Le produit extérieur des vecteurs $u$ et $v$ est noté $u\wedge v$ et est définie pour tout $x\in E$ et tout $y\in E$ par

$u\wedge v:(x,y)\mapsto (u\centerdot x)\;(v\centerdot y)-(v\centerdot x)\;(u\centerdot y)$

C'est une forme bilinéaire car elle est linéaire en $x$ et linéaire en $y$. Elle est de plus alternée car $u\wedge v(x,x)=0$ pour tout $x\in E$ et donc antisymétrique, c'est-à-dire que $u\wedge v(y,x)=-u\wedge v(x,y)$

On peut définir le produit extérieur $\wedge$ sur $A(E)$. Comme la définition formelle du produit extérieur est assez complexe, on se contentera d'en donner ses principales propriétés.

• le produit extérieur $\wedge$ est une application bilinéaire de $A(E)\times A(E)$ dans $A(E)$
• si $\alpha \in A^{p}(E)$ et $\beta \in A^{q}(E)$ alors $\alpha \wedge \beta \in A^{p+q}(E)$
• si $\alpha \in A^{p}(E)$ et $\beta \in A^{q}(E)$ alors $\beta \wedge \alpha =(-1)^{p\,q}\alpha \wedge \beta$
• le produit extérieur est associatif c'est à dire que $\alpha \wedge (\beta \wedge \gamma )=(\alpha \wedge \beta )\wedge \gamma$ que l'on note alors plus simplement $\alpha \wedge \beta \wedge \gamma$

Muni de cette loi, $A(E)$ est une algèbre extérieure.

Bases canoniques

Soit $B$ une base de $E$. On peut alors calculer les coordonnées d'un vecteur de $E$ dans cette base. Mais pour calculer les coordonnées d'un p-vecteur il faut d'abord définir une base de $A^{p}(E)$. On peut le faire de façon naturelle (canonique) mais par contre, on ne peut définir aucun ordre naturel sur cette base.

Base duale

Soit $B=(e_{1},\cdots ,e_{n})$ une base de $E$. On note $e^{i}$ la forme linéaire définie par $e^{i}(e_{j})=1$ si $i=j$ et $e^{i}(e_{j})=0$ si $i\neq j$ c'est-à-dire $e^{i}(e_{j})=\delta _{j}^{i}$ où $\delta _{j}^{i}$ est le tenseur de Kronecker. La base $B^{*}=(e^{1},\cdots ,e^{n})$ de l'espace dual $E^{*}$ est appelée base duale de $B$. Tout changement de base dans $E$ induit automatiquement le changement de sa base duale.

Cette définition n'utilise pas le produit scalaire et peut donc être utilisée dans un cadre plus général. Ici $E$ est un espace vectoriel euclidien et ces formes linéaires sont identifiées à des vecteurs de $E$. On a donc $e^{i}(e_{j})=e^{i}\!\centerdot e_{j}=\delta _{j}^{i}$. Par exemple en dimension 3 on a $e^{3}\!\centerdot e_{1}=e^{3}\!\centerdot e_{2}=0$ et $e^{3}\!\centerdot e_{3}=1$. Par conséquent, si $e'_{3}$ est le projeté orthogonal de $e_{3}$ sur la droite orthogonale au plan engendré par les vecteurs $e_{1}$ et $e_{2}$, alors $e^{3}={\frac {e'_{3}}{\Vert e'_{3}\Vert ^{2}}}$.

Soit $u\in E$. On peut calculer les coordonnées de $u$ dans ces bases. En utilisant la convention de sommation d'Einstein on obtient $u=u^{i}\,e_{i}$ où les $u^{i}=e^{i}\centerdot u$ sont les coordonnées contravariantes de $u$ dans la base $B$. On obtient de même $u=u_{i}\,e^{i}$ où les $u_{i}=e_{i}\centerdot u$ sont les coordonnées covariantes de $u$ dans la base duale $B^{*}$.

On note $g_{ij}=e_{i}\centerdot e_{j}$ le tenseur métrique et $g^{ij}$ son tenseur inverse (ces tenseurs sont symétriques et $g_{ij}g^{jk}=\delta _{i}^{k}$). On vérifie que $\;e^{i}=g^{ij}e_{j}$, $\;e_{i}=g_{ij}e^{j}$, $\;g^{ij}=e^{i}\!\centerdot e^{j}$, $\;u_{i}=g_{ij}u^{j}$, $\;u^{i}=g^{ij}u_{j}$.

Si $u\in E$ et $v\in E$ alors $u\centerdot v=u^{i}e_{i}\centerdot v^{j}e_{j}=g_{ij}u^{i}v^{j}=u_{j}v^{j}=u^{i}v_{i}$. Il est très inhabituel d'utiliser de cette manière les coordonnées issues de deux bases différentes, mais $B$ et $B^{*}$ ne sont pas indépendantes.

Bases des p-vecteurs

Soit $1<p\leqslant n$. Pour tout p-uplet ordonné $I=(i_{1},\cdots ,i_{p})$ vérifiant $1\leqslant i_{1}<\cdots <i_{p}\leqslant n$ on pose $e_{I}=e_{i_{1}\cdots i_{p}}=e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{p}}$. Par exemple, $e_{5}\wedge e_{1}\wedge e_{2}=e_{1}\wedge e_{2}\wedge e_{5}=e_{1\,2\,5}$ et $e_{5}\wedge e_{2}\wedge e_{1}=-e_{1}\wedge e_{2}\wedge e_{5}=-e_{1\,2\,5}$. L'ensemble des p-vecteurs $e_{I}$ où $I$ est un p-uplet ordonné est une base de $A^{p}(E)$ notée $\lbrace e_{I}\rbrace _{|I|=p}$. C'est la base covariante associée à la base $B$ et tout changement de base dans $E$ induit automatiquement un changement de base dans $A^{p}(E)$. Par abus de langage, les coordonnées d'un p-vecteur $\alpha$ dans cette base sont appelés les coordonnées contravariantes de $\alpha$ dans $B$ (il est clair que c'est un abus de langage car $\alpha \notin E$).

Dans le cas $n=3$, la base covariante de $A^{2}(E)$ est $\lbrace e_{12},e_{13},e_{23}\rbrace$. Tout bivecteur $\alpha \in A^{2}(E)$ peut s'écrire (de manière unique) sous la forme $\alpha =\alpha ^{ij}e_{ij}$ ce qui donne

$\alpha =\alpha ^{12}e_{12}+\alpha ^{13}e_{13}+\alpha ^{23}e_{23}$

car on doit sommer sur l'ensemble des couples $(i,j)$ possibles et ceux-ci doivent vérifier $i<j$ (convention d'Einstein généralisée).

De la même manière, on pose $e^{I}=e^{i_{1}\cdots i_{n}}=e^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e^{i_{n}}$. La base constituée de ces p-vecteurs, notée $\lbrace e^{I}\rbrace _{|I|=p}$, est la base contravariante associée à $B$. Par abus de langage, les coordonnées d'un p-vecteur $\alpha$ dans cette base sont appelés les coordonnées covariantes de $\alpha$ dans $B$.

Dans le cas $n=3$, la base contravariante de $A^{2}(E)$ est $\lbrace e^{12},e^{13},e^{23}\rbrace$. Tout bivecteur $\alpha \in A^{2}(E)$ peut s'écrire (de manière unique) sous la forme $\alpha =\alpha _{ij}e^{ij}$ ce qui donne

$\alpha =\alpha _{12}e^{12}+\alpha _{13}e^{13}+\alpha _{23}e^{23}$

Remarque : Il existe un isomorphisme canonique (c'est-à-dire indépendant des bases) entre les bivecteurs et les tenseurs antisymétrique d'ordre 2. En général on distingue ces tenseurs suivant qu'ils sont covariants, contravariants ou mixtes. Dans le cas d'un espace euclidien, ces distinctions sont sans objet car on a identifié $E$ et $E^{*}$. Cependant, il faut toujours faire la distinction entre les coordonnées covariantes, contravariantes ou mixtes.

Pseudo-vecteur

Les éléments de $A^{2}(E)$ sont appelés des bivecteurs. D'autre part, $A^{n-1}(E)$ est le dual de $A^{1}(E)=E$ et donc est aussi de dimension $n$. Les éléments de $A^{n-1}(E)$ sont, pour cela, appelés des pseudo-vecteurs. Le préfixe pseudo signale seulement que ces vecteurs, bien qu'appartenant à un espace vectoriel de même dimension que $E$, ne sont pas des éléments de $E$. Dans le cas $n=3$, les bivecteurs sont donc aussi des pseudo-vecteurs : cette coïncidence n'a lieu que pour $n=3$.

Soit $u$ et $v$ deux vecteurs. Comme $u\in A^{1}(E)$ et $v\in A^{1}(E)$ alors $u\wedge v\in A^{2}(E)$. Avec le vocabulaire ci dessus, $u\wedge v$ est donc un bivecteur. Dans le cas $n=3$ c'est aussi un pseudo-vecteur et tout pseudo-vecteur peut s'écrire comme le produit extérieur de deux vecteurs.

Espace orienté

Comme $A^{n}(E)$ est le dual de $A^{0}(E)=\mathbf {R}$, il est aussi de dimension $1$. Ses éléments sont appelées, pour cela, des pseudo-scalaires. Là encore, le préfixe pseudo signale simplement que les éléments de $A^{n}(E)$ ne sont pas des éléments de $\mathbf {R}$.

Une forme volume sur $E$ est un élément non nul de $A^{n}(E)$. Comme cet espace est de dimension 1, la relation d’équivalence définie sur $A^{n}(E)\setminus \{0\}$ par

$\omega _{1}\ \sim \omega _{2}\iff \exists \lambda >0\quad \omega _{2}=\lambda \,\omega _{1}$

permet de définir deux classes d’équivalence appelées orientations de $E$. L'espace vectoriel $E$ muni de l'orientation $X$ est noté $E_{X}$ et appelé espace vectoriel orienté. Même si le plus souvent, en l'absence d'ambiguïté, on note encore $E$ l'espace vectoriel orienté, il est mathématiquement important de distinguer l'espace vectoriel $E$ de l'espace vectoriel orienté $E_{X}$ .

Dans le cas d'un espace euclidien, on dit que $\omega \in A^{n}(E)$ est un vecteur unitaire si et seulement si il existe une base orthonormale de $E$ notée $B$ telle que $\left|\omega (B)\right|=1$. Les propriétés du déterminant montrent alors que cette égalité est vérifiée pour toute base orthonormale. Il n'existe que deux vecteurs unitaires, chacun appartenant à une orientation. On note $\eta$ l'unique vecteur unitaire appartenant à $X$ et on note $E_{\eta }$ (au lieu de $E_{X}$) l'espace vectoriel euclidien orienté . Pour faire court, on dira simplement espace orienté.

On remarque que le tenseur de Levi-Civita est un vecteur unité et qu'il peut donc aussi être appelé forme volume unité ou unité pseudo-scalaire.

Produit vectoriel / Produit mixte

Soit $E_{\eta }$ un espace orienté de dimension $n=3$ et $x_{1},x_{2},x_{3}$ trois vecteurs de $E$. L'expression $\eta (x_{1},x_{2},x_{3})$ est parfois notée $[x_{1},x_{2},x_{3}]$ et porte alors le nom de produit mixte. Cette appellation est due à la relation

$[x_{1},x_{2},x_{3}]=(x_{1}\times x_{2})\centerdot x_{3}$

qui définit le produit vectoriel. Les propriétés d'antisymétrie de $\eta$ donnent des relations analogues par permutation circulaire sur les indices.

Si les vecteurs sont coplanaires le résultat est nul. Sinon sa valeur absolue est égal au volume du parallélépipède construit sur ces trois vecteurs. Cela justifie a posteriori le nom de « forme volume » donnée aux éléments de $A^{n}(E)$.

Bases directes

Soit $B$ une base de $E_{X}$ et $\omega \in X$ une forme volume. On dit que $B$ est directe (ou orientée positivement) si $\omega (B)>0$ et indirecte (ou rétrograde ou orientée négativement) si $\omega (B)<0$. Cela est indépendant de $\omega \in X$.

On peut remarquer que la définition mathématique ci-dessus de l'orientation est intrinsèque. En particulier elle ne fait pas intervenir les bases qui, de ce point de vue, sont des éléments étrangers à la notion. Il existe cependant une propriété concernant les bases qui sert parfois de définition alternative. Soit $B$ une base de $E$ (espace non orienté). L'ensemble des formes volumes $\omega$ telles que $\omega (B)>0$ est une orientation. Cette orientation est appelée « orientation définie par $B$ ». Si on la note $X$ alors (par définition) $B$ est une base directe de l'espace orienté $E_{X}$.

En physique, on peut ainsi définir une orientation telle que les bases directes soient des bases orientées à droite. Pour cela on choisit une base orientée à droite (par la règle de la main droite, par exemple). D'après ce qui précède, cela détermine une orientation pour laquelle la base est directe. Cette orientation est identique à celle déterminée par le tire-bouchon de Maxwell.

Pseudo-vecteur vs vecteur axial

Exemple

Vecteur instantané de rotation

Soit ${\mathcal {S}}$ un solide mobile indéformable et $B=(e_{1},e_{2},e_{3})$ une base quelconque de $E$ liée à ${\mathcal {S}}.$ Les vecteurs $e_{i}$ dépendent du temps mais les coordonnées du tenseur métrique dans cette base restent constantes. On note $B^{*}=(e^{1},e^{2},e^{3})$ sa base duale. Comme ${\dfrac {d}{dt}}(e_{i}\centerdot e_{j})={\dfrac {d}{dt}}(g_{ij})=0$ alors ${\dfrac {de_{i}}{dt}}e_{j}+e_{i}{\dfrac {de_{j}}{dt}}=0$. Si on note $\alpha _{ij}={\dfrac {de_{i}}{dt}}\centerdot e_{j}$ alors $\alpha _{ij}+\alpha _{ji}=0$ et ${\dfrac {de_{i}}{dt}}=\alpha _{ij}e^{j}$.

Si $r$ est un vecteur lié à ${\mathcal {S}}$ alors $r=r^{i}e_{i}$ où les $r^{i}$ ne dépendent pas du temps. D'où $v={\dfrac {dr}{dt}}=r^{i}{\dfrac {de_{i}}{dt}}=r^{i}\alpha _{ij}e^{j}$. Finalement

$v_{j}=\alpha _{ij}r^{i}$

Il existe une forme bilinéaire alternée unique notée $\alpha$ telle que $\alpha (e_{i},e_{j})=\alpha _{ij}$ (puisque les $\alpha _{ij}$ sont les coordonnées d'un tenseur, $\alpha$ ne dépend pas de la base $B$). Par conséquent $\alpha \in A^{2}(E)$, c'est-à-dire que $\alpha$ est un bivecteur et donc un pseudo-vecteur puisque la dimension de $E$ est égale à 3.

D'un point de vue calculatoire, le pseudo-vecteur $\alpha$ est l'outil adapté au problème mais il présente un double inconvénient. Tout d'abord, on ne travaille pas avec les objets eux-mêmes mais avec leurs coordonnées. Ensuite, il n'est pas facile de visualiser l'action d'un tel tenseur sur un schéma.

Le vecteur vitesse angulaire décrit la vitesse de rotation et l'axe de rotation instantanée. La direction du vecteur vitesse angulaire est celle de l'axe de rotation ; dans ce cas (sens antihoraire) le vecteur pointe vers le haut

On cherche un outil ne présentant pas ces inconvénients. Pour cela on utilise le fait que l'espace est orienté. Le dual de Hodge de $\alpha$ est un vecteur et on pose $\omega =\star \alpha$ (où $\star$ est la loi étoile de Hodge). Les coordonnées de $\omega$ dans la base $B$ sont $\omega ^{k}={\frac {1}{2}}\eta ^{ijk}\alpha _{ij}$ où $\eta$ est le tenseur de Levi-Civita. On obtient $\alpha _{ij}=\eta _{ijk}\omega ^{k}$ et $v_{j}=\alpha _{ij}r^{i}=\eta _{ijk}\omega ^{k}r^{i}=(\omega \times r)_{j}$. D'où

$v=\omega \times r$

L'avantage est immédiat. On travaille avec un vecteur, qui est un objet plus simple qu'un tenseur (ici un bivecteur) et la formule n'utilise pas les coordonnées. Mais il faut être conscient que l'on a introduit artificiellement l'orientation de l'espace dans un problème qui, au départ, n'en dépend pas. Une première fois pour définir le vecteur $\omega$, une seconde fois pour l'utiliser à l'aide du produit vectoriel. Le vecteur axial $\omega$ peut donc être considéré comme un simple intermédiaire de calcul qui a l'avantage de pouvoir être représenté graphiquement (il a été créer en partie pour cela) mais qui possède l'inconvénient de mal supporter les transformations, contrairement au pseudo-vecteur $\alpha$.

Transformation physique

On reprend les notations précédentes. Soit $A$ une isométrie de $E$ indépendante du temps. Pour chaque élément défini sur ${\mathcal {S}}$ on note avec un « ' » son transformé physique c'est-à-dire l'élément correspondant sur ${\mathcal {S'}}=A({\mathcal {S}})$. Le plus souvent, transformé et image coïncident ; mais pas toujours.

On a $r'=A(r)$. Si $B=(e_{1},e_{2},e_{3})$ alors $B'=(e'_{1},e'_{2},e'_{3})$ est la base image de $B$ car $e'_{i}=A(e_{i})$. De même ${B^{*}}'=(e'^{1},e'^{2},e'^{3})$ est la base image de $B^{*}$ car $e'^{i}=A(e^{i})$. On a aussi $v'=A(v)$ et $\;\alpha '=A(\alpha )$. Mais pour $\omega$ on a $\omega '=A(\omega )$ si $A$ est directe et $\omega '=-A(\omega )$ si $A$ est indirecte.

Démonstration

Il est essentiel que $A$ soit une isométrie (les produits scalaires sont conservés). La plupart des résultats serait faux sinon.

• $\quad A(e^{i})\centerdot e'_{j}=A(e^{i})\centerdot A(e_{j})=e^{i}\centerdot e_{j}=\delta _{j}^{i}$. D'où $e'^{i}=A(e^{i})$
• $\quad v'={\dfrac {dr'}{dt}}={\dfrac {dA(r)}{dt}}=A\left({\dfrac {dr}{dt}}\right)=A(v)$
• $\quad e'_{ij}=e'_{i}\wedge e'_{j}=A(e_{i})\wedge A(e_{j})=A(e_{i}\wedge e_{j})$$=A(e_{ij})$. De même $e'^{ij}=A(e^{ij})$
  

$\quad \quad \alpha '_{ij}={\dfrac {de'_{i}}{dt}}\centerdot e'_{j}=A\left({\dfrac {de_{i}}{dt}}\right)\centerdot A(e_{j})={\dfrac {de_{i}}{dt}}\centerdot e_{j}=\alpha _{ij}$
$\quad \quad \;\alpha '=\alpha '_{ij}e'^{ij}=\alpha _{ij}A(e^{ij})=A(\alpha _{ij}e^{ij})=A(\alpha )$

• $\quad \omega '^{k}={\frac {1}{2}}\eta '^{ijk}\alpha '_{ij}={\frac {1}{2}}\det(A)\eta ^{ijk}\alpha _{ij}=\det(A)\omega ^{k}$
  

$\quad \quad \;\omega '=\omega '^{k}e'_{k}=\det(A)\omega ^{k}A(e_{k})=\det(A)\,A(\omega )$

Si l'isométrie est indirecte, le transformé du vecteur axial $\omega$ est l'opposé de son image. On retrouve donc sur cet exemple, la règle énoncée plus haut.

Cas général

Dualité vecteur / pseudo-vecteur

En dimension 3, les espaces vectoriels $A^{2}(E)$ et $A^{1}(E)=E$ sont duaux c'est-à-dire que chaque pseudo-vecteur est associé par la loi étoile de Hodge à un vecteur et réciproquement. Si $\alpha$ est un pseudo-vecteur, on note $\star \alpha$ son vecteur dual. De même si $u$ et un vecteur on note $\star u$ son bivecteur dual. Les relations tensorielles entre les coordonnées sont

$(\star \alpha )^{k}={\frac {1}{2}}\eta ^{ijk}\alpha _{ij}\quad$ et $\quad (\star u)_{ij}=\eta _{ijk}u^{k}$

où $\eta$ est le tenseur de Levi-Civita. On a donc $\star (\star u)=u\;$ et $\;\star (\star \alpha )=\alpha$.

En dimension 3, tout pseudo-vecteur peut s'écrire comme le produit extérieur de deux vecteurs. Le cas général se réduit donc à ce qui pourrait passer pour un cas particulier. Avec $\alpha =u\wedge v$ on obtient

$\star (u\wedge v)=u\times v$

c'est-à-dire que que le produit vectoriel est le vecteur dual du produit extérieur.

Démonstration simplifiée

La loi $\star$ de Hodge est définie dans le cas général de manière intrinsèque et assez complexe. Mais elle prend une forme particulièrement simple dans une base orthonormale directe $(e_{1},\cdots ,e_{n})$ :
$\star e_{i_{1}\cdots i_{p}}=\epsilon _{i_{1}\cdots i_{p}j_{1}\cdots j_{n-p}}\;e_{j_{1}\cdots j_{n-p}}$ où $\scriptstyle {(j_{1}\cdots j_{n-p})\,=\,(1\cdots n)\smallsetminus (i_{1}\cdots i_{p})}$. Ce qui donne dans le cas $n=3$

$\star e_{12}=\epsilon _{123}\;e_{3}=e_{3},\quad$ $\star e_{13}=\epsilon _{132}\;e_{2}=-e_{2},\quad$ $\star e_{23}=\epsilon _{231}\;e_{1}=e_{1}$

Comme

${\begin{aligned}u\wedge v=&(u_{1}e_{1}+u_{2}e_{2}+u_{3}e_{3})\wedge (v_{1}e_{1}+v_{2}e_{2}+v_{3}e_{3})\\=&(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})e_{12}+(u_{1}v_{3}-u_{3}v_{1})e_{13}+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})e_{23}\end{aligned}}$

on obtient

$\star (u\wedge v)=(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})e_{3}+(-u_{1}v_{3}+u_{3}v_{1})e_{2}+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})e_{1}$

On reconnait les coordonnées de $u\times v$ dans la base orthonormale directe $(e_{1},e_{2},e_{3})$.

Transformation mathématique

Soit $A$ une isométrie de $E$. On note $\det(A)$ son déterminant.

• Pour le produit extérieur : $A(u\wedge v)=A\,u\wedge A\,v$
• Pour le produit vectoriel : $A\,u\times A\,v=\det(A)\ A(u\times v)$

Démonstration

Pour tout vecteur $t$, on a

${\begin{aligned}(A\,u\times A\,v)\centerdot t=&[A\,u,A\,v,t]\\=&\det(A)\,[u,v,A^{-1}t]\\=&\det(A)\,(u\times v)\centerdot A^{-1}t\\=&\det(A)\,^{t}\!\!A^{-1}(u\times v)\centerdot t\end{aligned}}$

D'où

$(A\,u\times A\,v)=\det(A)\,^{t}\!\!A^{-1}(u\times v)$

Dans le cas d'un isomorphisme, on a $^{t}\!\!A^{-1}=A$ et donc

$A\,u\times A\,v=\det(A)\ A(u\times v)$

Par conséquent, $\star A(u\wedge v)=\star (A\,u\wedge A\,v)=A\,u\times A\,v=\det(A)\,A(u\times v)$, c'est-à-dire

Transformation physique

En rouge, est représenté le produit vectoriel des deux vecteurs en noir. Sous une inversion d'espace chaque vecteur est changé en son opposé : ils sont représenté en gris pour les vecteurs en noir et en rose pâle (non présent sur le dessin) pour le vecteur en rouge. Le produit vectoriel des images (en gris) est égal au vecteur en rouge et donc égal à l'opposé de son image (en rose pâle).

Soit $A$ une isométrie indirecte. Soit $u$ et $v$ des vecteurspolaires. Leurs transformés physiques sont égaux à leurs transformé mathématiques : $u'=A(u)$ et $v'=A(v)$. Le transformé mathématique du vecteur axial $u\times v$ est $A(u\times v)$ alors que son transformé physique est $u'\times v'=A\,u\times A\,v=\det(A)\,A(u\times v)$. D'après ce qui précède, on a le schéma suivant :

${\begin{matrix}u\times v&\displaystyle \xrightarrow {A_{phy}} &A\,u\times A\,v\\\star \downarrow &&\uparrow \star \\u\wedge v&\displaystyle \xrightarrow {A} &A\,u\wedge A\,v\end{matrix}}$

Le bivecteur et son vecteur dual représentent tous deux le phénomène physique. A priori, aucun n'est plus légitime que l'autre. Mais les lois physiques montrent que c'est le bivecteur qui doit être transformé (mathématiquement) et que le vecteur dual doit être récupéré après coup. Sous cet angle, la transformation physique apparaît comme étant simplement un raccourci qui permet de se passer du bivecteur.

Si pour des raisons pédagogiques ou autres on ne peut pas introduire la notion de bivecteur, alors justifier le traitement spécial réservé au vecteur $u\times v$ n'est pas simple. On s'en sort généralement en disant que ce n'est pas un " vrai vecteur " : la preuve, on ne le transforme pas comme les autres ! On reconnaît là, le procédé qui consiste à expliquer un résultat en s'appuyant sur le résultat lui même.

Le gros avantage de la transformation physique est que, contrairement à la transformation mathématique, il est indifférent de l'appliquer avant ou après l'opération de dualité.

Le bivecteur $u\wedge v$ est un pseudo-vecteur, au sens mathématique. Pour éviter toute confusion, il vaut mieux éviter d'appeler le vecteur axial $u\times v$ un pseudovecteur car les propriétés sont différentes.

Représentation duale d'un bivecteur

Soit $a,\ b,\ c,\ d$ quatre réels vérifiant $ad-bc=1$ et $u$, $v$ deux vecteurs. Alors $u'=a\ u+b\ v$ et $v'=c\ u+d\ v$ vérifient $u'\wedge v'=u\wedge v$. Par conséquent un bivecteur $\alpha$ peut s'écrire sous la forme $\alpha =u\wedge v$ d'une infinité de manière. De plus l'action de ce bivecteur n'est pas simple à percevoir.

C'est pourquoi les physiciens préfèrent considérer (et représenter graphiquement) son vecteur dual. Non seulement ce vecteur est unique mais son action est claire : il s'agit localement d'une rotation dont l'axe a pour direction celle donnée par le vecteur. D'ailleurs en physique un vecteur axial est aussi appelé, par une sorte de métonymie, un pseudovecteur ce qui rappelle son association avec le bivecteur (= pseudo-vecteur).

Par exemple, le bivecteur ${\boldsymbol {F}}$ dont les coordonnées covariantes sont $F_{ij}=\partial _{i}A_{j}-\partial _{j}A_{i}$ (${\boldsymbol {A}}$ est le potentiel vecteur) et son vecteur dual ${\boldsymbol {B}}$ dont les coordonnées contravariantes sont $B^{k}={\frac {1}{2}}\eta ^{ijk}F_{ij}$ ($\eta$ est le tenseur de Levi-Civita) peuvent tous les deux représenter le champ magnétique. Lors d'une symétrie, il est mathématiquement équivalent de prendre le symétrique du bivecteur et de calculer ensuite son vecteur dual ou bien de prendre directement l'opposé du symétrique du vecteur dual. La transformation particulière que l'on réserve aux vecteurs axiaux est donc simplement un raccourci (une astuce de calcul) et ne traduit aucunement une quelconque bizarrie qui affecterait les vecteurs axiaux.

Par exemple, le champ magnétique peut être représenté par le bivecteur ${\boldsymbol {F}}$ dont les coordonnées covariantes sont $F_{ij}=\partial _{i}A_{j}-\partial _{j}A_{i}$ (${\boldsymbol {A}}$ est le potentiel vecteur). On voit mal comment représenter graphiquement un tel bivecteur. Par contre, il est très simple de le faire par l'intermédiaire de son vecteur dual, le vecteur ${\boldsymbol {B}}$ dont les coordonnées contravariantes sont $B^{k}={\frac {1}{2}}\eta ^{ijk}F_{ij}$ où $\eta$ est le tenseur de Levi-Civita.

L'abus de langage qui consiste à identifier le concept physique et l'objet mathématique est habituellement sans conséquence. Dire que ${\boldsymbol {E}}$ " est " le champ électrique ne pose aucun problème. Par contre dire que ${\boldsymbol {B}}$ " est " le champ magnétique (comme il est d'usage de le dire) occulte le fait que c'est le bivecteur ${\boldsymbol {F}}$ (et non son dual) qui représente directement le champ magnétique. Lors d'une transformation, comme ${\boldsymbol {B}}$ ne représente qu'indirectement le champ magnétique c'est le bivecteur qui doit être transformé, son vecteur dual devant être récupéré après coup.

Il est évidemment plus simple de transformer directement le vecteur dual même si cela nécessite parfois un ajustement pour qu'il reste en adéquation avec le bivecteur : ainsi, lors d'une isométrie indirecte, on doit prendre l'opposé du vecteur image. Mais cela est juste une astuce de calcul.

Ignorer ce qui précède conduit à penser que le vecteur ${\boldsymbol {B}}$ ne se comporte pas toujours comme devrait le faire un " vrai " vecteur et qu'il serait donc un " faux " vecteur ou plus savamment un " pseudo " vecteur. Ce serait un objet chimérique qui se dessine comme un vecteur mais qui se transforme comme un bivecteur voire, pourquoi pas, un objet qui serait à la fois un vecteur et un bivecteur. Est-il utile de préciser que tout cela n'a aucun sens.

Dans la pratique, les coordonnées du produit vectoriel ne sont calculées que dans une base orthonormale directe. Dans ce cas, en modifiant de façon ad hoc la base canonique des bivecteurs, on obtient l'égalité des coordonnées du produit extérieur et du produit vectoriel (c'est-à-dire d'un bivecteur et de son vecteur dual) et cette égalité est conservée lors d'un changement de base orthonormale directe. On peut donc, avec la conception ci-dessus, commencer une phrase en parlant d'un pseudovecteur comme étant un vecteur et la finir en en parlant comme d'un bivecteur, cela ne mène à aucune erreur d'application. Bien que cette conception soit malheureusement assez répandue, on ne peut pas l'encourager, car dès que l'on fait un peu de théorie et que l'on s'écarte de ces conditions particulières, rien ne va plus.

La distinction polaire/axiale est-elle nécessaire ?

Elle n'est pas nécessaire mais s'avère très utile en pratique. La représentation vectorielle de l'électromagnétisme est un modèle élémentaire, facilement accessible mais ce n'est qu'un modèle parmi d'autres. Dans le formalisme de la relativité, le champ électromagnétique est représenté par un tenseur antisymétrique (en dimension 4). Dans ce cadre, les vecteurs ${\boldsymbol {E}}$ et ${\boldsymbol {B}}$ sont définis pour faire le lien avec la représentation vectorielle mais ne sont pas utilisés comme tels. Il en est de même dans la représentation (moins connue) de l'Algèbre géométrique. Dans ces deux derniers modèles, la distinction polaire/axial est inutile.

Soit $u$ un vecteur. Ce vecteur est-il polaire ou axial ? On voit bien que posée ainsi, cette question ne peut avoir de réponse. Il est nécessaire de savoir quelle grandeur physique ce vecteur représente. Par exemple, suivant que $u$ représente un rayon vecteur ou un vecteur de rotation, on répondra que $u$ est un vecteur polaire ou axial.

Ainsi si $(i,j,k)$ est une base, les vecteurs $i,j,k$ ne sont ni polaires ni axiaux car ils ne représentent aucune grandeur physique. Par conséquent le vecteur seul ne suffit pas. Il manque en quelque sorte un " mode d'emploi " indiquant comment le vecteur doit être utilisé : la distinction polaire/axiale rempli ce rôle. Le qualificatif polaire ou axial n'est donc pas une propriété du vecteur lui-même mais une indication supplémentaire qui vient préciser son utilisation.

Lorsque le nom d'une variable est étroitement associé à une grandeur physique, il porte en lui même la précision polaire/axiale. Par exemple en électromagnétisme, parler du champ ${\boldsymbol {E}}$ ou du champ ${\boldsymbol {B}}$ ne nécessite aucune précision supplémentaire

Comment utiliser un vecteur axial ?

Tout d'abord, peut-on donner une définition de la distinction " axial/polaire " ? Mathématiquement non (on en a déjà parlé) mais physiquement oui.
Condition préalable : Un objet mathématique est soit polaire soit axial si et seulement si il représente un concept physique. Cette condition est très rarement donnée car, en dehors de rares exceptions (par exemple, les vecteurs de base), les objets mathématiques utilisés en physique vérifient cette condition.

Voici deux définitions possibles (il en existe peut-être d'autres).
(1) Un vecteur est axial s'il dépend de l'orientation de l'espace, polaire s'il n'en dépend pas.
(2) Lors d'une isométrie indirecte, le transformé (physique) d'un vecteur est égal à son image si c'est un vecteur polaire et égal à l'opposé de son image si c'est un vecteur axial.

La première définition est très souvent donnée mais pour ainsi dire jamais utilisée. Elle semble " mathématique " mais ne l'est pas. Car pour savoir si le vecteur dépend ou non de l'orientation de l'espace, il faut savoir comment se comporte la grandeur physique vectorielle associée.

La seconde définition semble moins " pure " que la première mais elle est opérationnelle et donc pour ainsi dire la seule utilisée en pratique.

Par exemple, dans la représentation vectorielle, faisons l'hypothèse que le champ magnétique est représenté par le bivecteur ${\boldsymbol {F}}=\mathbf {d} {\boldsymbol {A}}$ (un tenseur antisymétrique en dimension 3) où ${\boldsymbol {A}}$ est le potentiel vecteur et $\mathbf {d}$ la différentiation extérieure. Son vecteur dual le vecteur ${\boldsymbol {B}}$ n'est, sous cette hypothèse, qu'un simple intermédiaire : la distinction polaire/axial est alors un moyen pratique d'utiliser le vecteur sans passer par le bivecteur. A ce titre, l'application du principe de Curie est particulièrement intéressante.

Schématiquement ce principe énonce que des causes symétriques donnent des effets symétriques, ce qui semble fort logique. C'est bien sûr en particulier le cas en électromagnétisme où effectivement tout plan de symétrie des causes est un plan de symétrie aussi bien pour le vecteur ${\boldsymbol {E}}$ que pour le bivecteur ${\boldsymbol {F}}$. Cela est mathématiquement équivalent à dire que tout plan de symétrie des causes est un plan de symétrie pour ${\boldsymbol {E}}$ et un plan d'antisymétrie pour ${\boldsymbol {B}}$. L'application du principe de Curie se généralise à tout vecteur polaire (plan de symétrie) ou axial (plan d'antisymétrie). Comme on le voit tout est très simple, sans la moindre bizarrerie d'aucune sorte.

Pourtant on peut lire un peu partout (y compris dans cet article) que « ${\boldsymbol {B}}$ est le champ magnétique ». Cela est bien sûr un abus de langage, on devrait dire « ${\boldsymbol {B}}$ représente le champ magnétique ». Et encore ne le fait-il qu'indirectement, par l'intermédiaire de son bivecteur. Mais c'est un intermédiaire tellement facile à utiliser dans les calculs et à représenter graphiquement qu'il est d'un usage quasi exclusif, au point d'en faire presque oublier l'existence même du bivecteur (cette remarque est valable pour tout vecteur axial). Ce n'est donc qu'une facilité de langage qu'il ne faut surtout pas prendre au pied de la lettre.

En effet, si l'on croit que ${\boldsymbol {B}}$ " est vraiment " le champ magnétique, alors l'antisymétrie de ${\boldsymbol {B}}$, simple artifice de calcul, devient une propriété du vecteur axial ce qui ammène à s'interroger ensuite sur la nature mystérieuse de ce vecteur qui n'est pas " vraiment " un vecteur $\dots$

Si l'on croit que ${\boldsymbol {B}}$ " est vraiment " le champ magnétique, alors on devrait en conclure que le champ magnétique viole le principe de Curie. Et comment comprendre qu'une symétrie des causes donne une antisymétrie de quelque chose de réel ? Voilà qui ne ferait que renforcer le mystère entourant ce vecteur.

Représentation matricielle

Dans l'espace vectoriel des matrices carrées (n,n) on peut définir deux produits.

• le premier, noté " $*$ " ou (le plus souvent) par une absence de signe, correspond au produit matriciel usuel : $X*Y$ ou $XY$
• le second, noté $[\ ,\ ]$, est le crochet de Lie : $[X,Y]=XY-YX$

Il est à remarquer que le sous espace vectoriel des matrices antisymétriques n'est pas stable pour le produit usuel mais qu'il est stable pour le crochet de Lie. C'est-à-dire que si $X$ et $Y$ sont antisymétriques alors $[X,Y]$ est aussi antisymétrique.

Soit $B=(e_{1},e_{2},e_{3})$ une base et $B_{2}=(e_{23},e_{13},e_{12})$ la base canonique des pseudo-vecteurs, c'est-à-dire des bivecteurs. Par rapport à leurs bases respectives, un pseudo-vecteur et son vecteur dual peuvent être représentés par des matrices : une matrice (3,1) pour le vecteur et une matrice (3,3) antisymétrique pour le pseudo-vecteur.

$\blacktriangleleft \blacktriangleright$ Si la base est orthonormale directe alors ils ont presque les mêmes coordonnées et les matrices se correspondent de façon simple. Par exemple si $x=x^{1}\,e_{1}+x^{2}\,e_{2}+x^{3}\,e_{3}$ alors $\star x=x^{1}\,e_{23}-x^{2}\,e_{13}+x^{3}\,e_{12}$ et on note
$(x)={\begin{pmatrix}x^{1}\\x^{2}\\x^{3}\end{pmatrix}}$ et $(\star x)={\begin{pmatrix}0&x^{3}&-x^{2}\\-x^{3}&0&x^{1}\\x^{2}&-x^{1}&0\\\end{pmatrix}}$
les matrices correspondantes. Pour des raisons pratiques (cf les formules ci-dessous) on considère aussi la matrice transposée $Q_{x}=(\star x)^{T}=-(\star x)$ appelée la représentation antisymétrique de $x$. Ces deux représentations sont présentes comme sous matrices du tenseur de Maxwell selon la signature de la métrique.

On peut vérifier que

• $\quad (u\times v)=Q_{u}(v)$ : matrice $*$ vecteur $\rightarrow$ vecteur
• $\quad (u\wedge v)=\left[(\star u),(\star v)\right]=\left[Q_{u},Q_{v}\right]$ : ${\big [}$matrice antisymétrique, matrice antisymétrique${\big ]}$ $\rightarrow$ matrice antisymétrique
• $\quad \exp(Q_{u})=I+{\big (}\sin \parallel u\parallel {\big )}{\frac {Q_{u}}{\parallel u\parallel }}+(1-\cos \parallel u\parallel )\left({\frac {Q_{u}}{\parallel u\parallel }}\right)^{2}$ (cf. Exponentielle d'une matrice). C'est donc une matrice de rotation. Plus précisément, l'axe de rotation est de direction $u$ et l'angle de rotation (en radians) est égal à $\parallel u\parallel$.

$\blacktriangleleft \blacktriangleright$ Si la base n'est pas orthonormale ou même seulement indirecte, alors les coordonnées ne sont plus les mêmes et la correspondance ci-dessus n'est plus valable. Par exemple, rien de changé dans l'expression du produit extérieur (pseudo-vecteur) mais pour le produit vectoriel (vecteur dual) l'expression n'est plus aussi simple. En pratique, on travaille dans une base orthonormale directe et la confusion ne porte pas à conséquence. Il n'en est pas de même dans un cadre théorique plus général. ${\displaystyle }$

Champ de vecteurs

Ce qui précède peut se généraliser aux champs vectoriels. Les exemples physiques donnés précédemment sont en fait des champs de vecteurs (pour alléger l'expression, on dira le plus souvent « vecteur » au lieu de « champ de vecteurs »). La distinction « polaire/axial » est particulièrement importante dans l'analyse des propriétés de symétrie des champs de vecteurs (cf. Principe de Curie). Ainsi, le champ électrique ${\boldsymbol {E}}$ (vecteur polaire) possède les mêmes symétries que ses sources : un plan de symétrie des charges est plan de symétrie de ${\boldsymbol {E}}$. Par contre, le champ magnétique ${\boldsymbol {B}}$ (vecteur axial) inverse ces propriétés : un plan de symétrie des courants est plan d'antisymétrie de ${\boldsymbol {B}}$. Mettre ces plans en évidence (lorsqu'ils existent) permet de simplifier les calculs.

Nous supposerons connus les trois opérateurs différentiels gradient, divergence et rotationnel que de nombreuses formules relient entre eux (cf. ici). Ici on se contente de mettre en évidence le caractère axial ou polaire des expressions obtenues à l'aide des coordonnées locales. Les relations de ce type les plus générales utilisent la notion de dérivée covariante. On se limitera ici au cas le plus élémentaire : coordonnées cartésiennes $(x_{1},x_{2},x_{3})$ dans un repère orthonormal direct.

Les exemples sont issus de l'électromagnétisme et plus précisément des équations de Maxwell.

Opérateur nabla

On note $\partial _{k}$ l'opérateur de dérivation ${\frac {\partial }{\partial x^{k}}}$ et on définit l'opérateur nabla $\nabla$ comme ayant les " coordonnées " symboliques $(\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3})$. Son intervention dans les produits scalaires, vectoriel ou extérieur se fait simplement en utilisant ses " coordonnées " comme si c'étaient les coordonnées covariantes d'un vecteur.

Gradient

Soit $f$ une fonction à valeurs réelles. Le vecteur $\nabla f$ a pour coordonnées $(\nabla f)_{i}=\partial _{i}f$. Ce sont celles du vecteur gradient et on note $\operatorname {grad} f=\nabla f$. Le gradient d'une fonction salaire est un champ de vecteurs polaires. Exemple

${\boldsymbol {E}}=-\nabla V-{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}$ ${\displaystyle }$

Divergence

Soit $u$ un vecteur de coordonnées $(u^{1},u^{2},u^{3})$. Le scalaire $\nabla \centerdot u=\partial _{i}u^{i}$ est égal à la divergence de $u$ et on note $\operatorname {div} u=\nabla \centerdot u$. La divergence d'un champ de vecteurs polaires est une fonction scalaire. Exemple

$\nabla \centerdot {\boldsymbol {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

Rotationnel

Soit $u$ un vecteur de coordonnées $(u_{1}\,u_{2},u_{3})$. Le pseudo-vecteur $\nabla \wedge u$ a pour coordonnées $(\nabla \wedge u)_{ij}=\partial _{i}u_{j}-\partial _{j}u_{i}$ et son vecteur dual $\nabla \times u=\star (\nabla \wedge u)$ a pour coordonnées $(\nabla \times u)^{k}={\frac {1}{2}}\epsilon ^{ijk}(\partial _{i}u_{j}-\partial _{j}u_{i})$ où $\epsilon$ est le symbole de Levi-Civita. Ces dernières sont les coordonnées du rotationnel, et on note $\operatorname {rot} u=\nabla \times u$. Le rotationnel d'un champ de vecteurs est un champ de vecteurs. Plus précisemment :

• Le rotationnel d'un vecteur polaire est un vecteur axial. Exemple ${\boldsymbol {B}}=\nabla \times {\boldsymbol {A}}$.
• Le rotationnel d'un vecteur axial est un vecteur polaire. Exemple

$\nabla \times {\boldsymbol {B}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}=\mu _{0}{\boldsymbol {J}}$

Les sources de confusion

Il y a (principalement) trois sources de confusions possibles.

1. Confondre une transformation passive avec une transformation active,
2. Confondre orientation de l'espace et orientation des bases,
3. Confondre le bivecteur $u\wedge v$ (produit extérieur) avec son dual de Hodge $u\times v$ (produit vectoriel).

On a déjà beaucoup parlé des points 2 et 3. Même si cela est important dans les discussions théoriques, cela est sans incidence dans la pratique. En effet dans ce cas l’espace est orienté à droite (et on n'envisage pas de l'orienter à gauche), les bases sont toujours supposées directes et enfin, le produit vectoriel est rarement (jamais ?) utilisé en dehors des bases orthonormales directes. Reste le point 1.

Transformation passive/active

• Dans une transformation passive on décrit un même phénomène physique dans deux référentiels distincts. C'est donc un changement de base.
• Dans une transformation active on déplace le système physique en gardant le même référentiel. C'est donc une transformation au sens mathématique du terme.

Inversion des axes

Les axes forment un repère qui oriente l'espace. On suppose qu'initialement ils forment un repère orienté à droite (par exemple, en suivant la règle de la main droite) : l'espace est ainsi orienté à droite. Inverser les axes comprend donc deux parties

1. un changement de l'orientation de l'espace : on passe de l'orientation droite à l'orientation gauche.
2. un changement de base : on passe de la base $B=(e_{1},e_{2},e_{3})$ orientée à droite à la base $B'=(-e_{1},-e_{2},-e_{3})$ orientée à gauche.

Sous l'action du changement de l'orientation de l'espace, un vecteur polaire ne change pas alors qu'un vecteur axial est changé en son opposé.

Sous l'action du seul changement de base, les vecteurs ne changent pas mais leurs coordonnées changent. Si le vecteur $x$ a pour coordonnées $(x^{1},x^{2},x^{3})$ dans la base $B$ alors le vecteur $x$ a pour coordonnées $(-x^{1},-x^{2},-x^{3})$ dans la base $B'$. C'est donc un changement de base (directe → indirecte) très simple à utiliser dans les calculs.

Sous ces actions conjointes les coordonnées d'un vecteur polaires sont changées en leurs opposés alors que celles d'un vecteur axial sont inchangées.

Remarque : la nouvelle base $B'$ est orientée à gauche. Mais comme l'espace est aussi orienté à gauche, les formules usuelles (notamment pour le produit vectoriel) sont encore valables, ce qui ne serait pas le cas sinon.

Inversion de l'espace

On appelle ainsi la transformation active qui à tout vecteur $x$ fait correspondre son opposé $-x$. Elle est aussi appelée symétrie centrale (ou symétrie par rapport à O) et symétrie P. Les vecteurs changent et donc leurs coordonnées changent mais la base ne change pas.

Si le vecteur $x$ a pour coordonnées $(x^{1},x^{2},x^{3})$ dans la base $B$ alors le vecteur $-x$ a pour coordonnées $(-x^{1},-x^{2},-x^{3})$ dans cette même base $B$.

Ambiguïté et erreur à éviter

Au niveau des coordonnées, la correspondance est la même pour les deux inversions. Parler de « la transformation $(x^{1},x^{2},x^{3})\rightarrow (-x^{1},-x^{2},-x^{3})$  » (ou toute autre expression équivalente) ne permet donc pas de savoir de quoi on parle.

Exemple : Soit $x$, $y$ deux vecteurs et $z=x\times y$ et soit la transformation $(x^{1},x^{2},x^{3})\rightarrow (-x^{1},-x^{2},-x^{3})$.

• si c'est une transformation passive, la nouvelle base est $B'=(-e_{1},-e_{2},-e_{3})$ et donc $\eta (B')=-\eta (B)$. On obtient $z'_{k}=\eta '_{ijk}x'^{i}\ y'^{j}=-\eta _{ijk}x^{i}\ y^{j}=-z_{k}$ conformément au fait que $z$ est un vecteur.
• si c'est une transformation active, on a $x'=-x$, $y'=-y$, $z'=-z$ et $x'\times y'=z=-z'$. Cette relation n'a rien d'extraordinaire puisqu'elle est vérifiée pour les nombres réels.
• Supposons que l'on utilise la transformation passive. Si on confond avec la transformation active, alors on en déduira faussement que les coordonnées du produit vectoriel sont inchangées et donc faussement que « le produit vectoriel ne se transforme pas comme un " vrai" vecteur ».

${\displaystyle }$

Orientation de l'espace

Renversement des axes

L'expression « orientation de l'espace » est aujourd'hui couramment utilisée dans les textes de physique mais il n'en a pas été toujours ainsi. Jusqu'aux années soixante, l'expression qui prévalait était liée à la notion de trièdre des axes coordonnées dont l'orientation correspond à l'orientation de l'espace. Renverser les axes est donc faire simultanément un changement de base et un changement d'orientation de l'espace.

Si l'on confond un renversement des axes avec un simple changement de base alors les énoncés compris ainsi sont trivialement faux, ce qui est impensable quand leurs auteurs sont des sommités du monde de la physique (on trouvera un peu plus bas quelques citations pour confirmer cela). Dans un soucis de clarté, il semble donc souhaitable lorsque l'on cite ces auteurs, de bien préciser le vocabulaire utilisé.

L'inconvénient de cette double modification est qu'il est moins facile de distinguer ce qui revient au changement de base et ce qui revient au changement de l'orientation de l'espace. Mais le gros avantage est que la nouvelle base est directe (au sens mathématique) et que par conséquent les formules usuelles utilisant les coordonnées sont encore valables. Cela est fort pratique avec les tenseurs qui, contrairement aux vecteurs, sont pratiquement toujours définis à l'aide de leurs coordonnées.

Citations commentées

• « Or, par définition, le produit vectoriel $A\times B$ de deux vecteurs $A$ et $B$ est un vecteur $C$ [$\cdots$] tel que le trièdre $A,B,C$ soit de même sens que le trièdre des axes coordonnées. » André Berthelot Les développements récents relatifs à la symétrie droite-gauche en physique in L'information scientifique J.-B. Baillière et fils Paris, mars/avril 1965 n°2 (p.52)
  Le produit vectoriel est défini de manière intrinsèque. Comme tout vecteur, il ne dépend pas des bases et donc a fortiori pas de leur orientation. Par contre, il dépend de l'orientation de l'espace. Le « trièdre des axes coordonnées » n'est donc pas un repère quelconque mais bien celui qui définit l'orientation de l'espace.

• « On sait qu'un vecteur axial change de sens quand on change l'orientation des axes (on le vérifie aisément par exemple sur le produit vectoriel de deux vecteurs polaires). » H.Arzeliès Electricité macroscopique et relativiste Gauthiers-Villard Paris 1963 (p.179)
  Une autre manière de dire essentiellement la même chose que précédemment : quand on change l'orientation des axes, on change l'orientation de l'espace et donc le produit vectoriel.

• « Lorsqu'on renverse par symétrie le système de coordonnées, c'est-à-dire quand on change les signes des trois coordonnées, les composantes [trad. coordonnées] d'un vecteur ordinaire changent également de signe. De tels vecteurs sont dits polaires. Les composantes d'un vecteur pouvant être représenté comme le produit vectoriel de deux vecteurs polaires ne changent pas de signe dans un renversement. De tels vecteurs sont dits axiaux.» L.Landau et E.Lifchitz Théorie du champ Edition Mir 1966 (p.28)
  Idem, sachant que l'expression « système de coordonnées » est l'un des nombreux substituts de « trièdre des axes coordonnées ».

On the web

Les grands auteurs utilisent un vocabulaire qui, avec le temps, nécessite parfois d'être expliqué. Mais on peut être sûr d'une chose : ils ne commettent pas d'erreurs ! Il n'en est pas de même sur la toile où le pire côtoie le meilleur. A lire, donc, avec esprit critique.

1. « axial vector ( pseudo-vector ) A vector that does not reverse its sign when the coordinate system is changed to a new system by a reflection in the origin (i.e. $x'_{i}=-x_{i}$ ). » Oxford Dictionary of Physics (8 ed.) Current Version: 2019 https://www.oxfordreference.com/search?q=axial%20vector
   On peut regretter que, en 2019, cette définition n'ait pas été actualisée. Néanmoins elle est correcte, à condition de décoder le vocabulaire utilisé (« coordinate system ») qui sous-entend que dans les conditions indiquées, l'orientation de l'espace est changée.
   
   
2. « The significant difference between axial vectors and polar vectors is the effect on their coordinates of an inversion of the coordinate system; i.e., x → -x, y → -y, z → -z. Under this inversion an ordinary (polar) vector P is transformed into its negative −P, whereas the coordinates of an axial vector A are unchanged by the inversion; i.e., P → -P, A → A »http://www.applet-magic.com/axial.ht
   Concernant les vecteurs, c'est tout le contraire : dans les conditions ci-dessus, quand les coordonnées changent de signes le vecteur est invariant. Et réciproquement. Manifestement, l'auteur confond un vecteur avec la liste de ses coordonnées.
   
   
3. « La symétrie par rapport à l'origine d'une base orthonormale se traduit par un changement de signe des coordonnées du pseudovecteur. On parle de pseudovecteurs par opposition aux vecteurs dits vrais ou polaires, qui sont invariants par une telle inversion. »
   Ici, il n'y a pas de changement de l'orientation de l'espace mais un simple changement de base. Compte tenu du commentaire précédent, l'auteur dit qu'un vecteur axial est invariant par changement de base. C'est vrai mais sans intérêt car, les vecteurs polaires vérifiant bien entendu la même propriété, cela ne peut en aucun cas caractériser un vecteur axial.
   
   
4. Dans les années 1960, le concept de vecteur tel que nous l'entendons aujourd'hui (i.e. un élément d'un espace vectoriel) a en gros un siècle d'existence. C'est ainsi que pour être sûr d'être compris, André Berthelot croient bon de préciser ce que l'on entend par « l'opposé d'un vecteur ». L'usage d'un vocabulaire comme « vrai vecteur » par ces auteurs est donc à replacer en situation.
   
   
5. I think the simplest invariant interpretation of a pseudovector (in 3-space) is as a 2-form (i.e., an antisymmetric covariant 2-tensor). To put this into context, note that ordinary force fields are actually best interpreted as 1-forms (covariant 1-tensor fields, also called covector fields). There are several good reasons for this (note than none of the following constructions require a choice of metric or orientation):

• If F is a force field, the work done by F along a path c is just the integral of F over c. 1-forms are the objects that can be integrated invariantly over curves.
• If u is a (scalar) potential field, the force field that it generates is most naturally interpreted as its differential du, a 1-form. To interpret it as a vector field requires a choice of metric.
• A force field F is irrotational (locally conservative) iff its exterior derivative vanishes: dF=0. More generally, the exterior derivative of a 1-form ("polar vector field") is a 2-form ("axial vector field). This is the invariant interpretation of the curl in the absence of a metric or orientation.
• If we interpret the magnetic field B as a 2-form, then the Lorentz force it exerts on a unit-charge particle traveling with velocity v is the covector given by interior multiplication: F = i_v(B) = B(v,.). This is an invariant interpretation of the cross product.

The nice thing about this approach is that it all makes sense without ever referring to metrics or orientations, and it allows you to think of pseudovectors as actual objects, not as equivalence classes.

If you do choose a metric and an orientation, then there are natural 1-1 correspondences between polar vector fields and 1-forms ("lowering an index") and between axial vector fields and 2-forms (given by interior multiplication of the vector field into the metric volume form, which is a 3-form determined by the metric). (If you change the orientation but leave the metric intact, then the vector field associated with a given 2-form changes sign.) There is also a natural correspondence between scalar fields and 3-forms, just by sending the scalar field f to the 3-form f dV, where dV is the metric volume form. Under these correspondences, all the standard operators of classical vector analysis turn into versions of the exterior derivative d:

d: scalar fields -> 1-forms corresponds to the gradient;
d: 1-forms -> 2-forms corresponds to the curl;
d: 2-forms -> 3-forms corresponds to the divergence.

John M Lee, Professor of Mathematics University of Washington Mathematics Department, Box 354350 Seattle, WA 98195-4350

• The Feynman Lectures on Physics, originally published in 1963, were described by a reviewer in Scientific American as “tough, but nourishing and full of flavor. After 25 years it is the guide for teachers and for the best of beginning students.”

• «  If a and b are called ordinary vectors, we have a special name for them, we call them polar vectors. Examples of such vectors are the coordinate r, force F, momentum p, velocity v, electric field E, etc.; these are ordinary polar vectors. Vectors which involve just one cross product in their definition are called axial vectors or pseudo vectors. Examples of pseudo vectors are, of course, torque τ and the angular momentum L. It also turns out that the angular velocity ω is a pseudo vector, as is the magnetic field B. »The Feynman Lectures on Physics, Volume I Chapter 20.Rotation in space

• Steve wondered if there is a textbook that is explicit about using the passive-transformation approach. Arnold Sommerfeld states in Lectures on Theoretical Physics: Mechanics (§22, translated by me from the german edition):

The rectangular components of the axial vector transform under a pure rotation of the coordinate system like the components of the corresponding arrow, i.e. orthogonally; under an inversion, however, they don't invert their sign. Then the right-screw rule is to be replaced by the left-screw rule, according to the fact that under an inversion a right-handed coordinate system transforms into a left-handed coordinate system.

A more recent account of the same idea is given in Goldstein, Poole, Safko: Classical Mechanics, 3ed., 2000, p. 169:

On the passive interpretation of the transformation, it is easy to see why polar vectors behave as they do under inversion.... What then is different for an axial vector? It appears that an axial vector always carries with it a "handedness" convention, as implied, e.g., by the definition Eq. (4.77), of a cross product. Under inversion a right-handed coordinate system changes to a left-handed system, and the cyclic order requirement of Eq. (4.77) implies a similar change from the right-hand screw convention to a left-hand convention. Hence, even on the passive interpretation, there is an actual change in the direction of the cross product upon inversion.

• base duale : base réciproque (réseau réciproque en cristalographie)

• Normal (geometry)#Transforming normals(en)

• Geometric algebra has been advocated, most notably by David Hestenes[2] and Chris Doran,[3] as the preferred mathematical framework for physics

(Wiki: Geometric algebra)

• One might say that mathematics deals with numbers and vectors, but mathematical physics with scalar quantities and vector quantities, respectively.

Ingvar Johansson, Mathematical Vectors and Physical Vectors. Dialectica, vol. 63, no. 4, 2009, pp. 433–447.

Voir aussi

Articles connexes

• Matrice antisymétrique
• Pseudoscalaire, Scalaire
• Covecteur , Espace dual
• Tenseur
• Analyse vectorielle
• Orientation
• Grandeur d'orientation

Liens externes

• www.isima.fr/~leborgne/IsimathMeca/Produitvectoriel.pdf. "Produit vectoriel, pseudo-produit vectoriel, et endomorphismes antisymétriques". 9 pages.

1994). Theoretical methods in the physical sciences: an introduction to problem solving using Maple V (footnote p 234).  (ISBN 0-8176-3715-X).<}}</ref>

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