Utilisateur:Mhon/Delta de Dirac

L'objet mathématique que l'on nomme delta de Dirac ou souvent de manière impropre fonction delta de Dirac et que l'on note δ a été introduit par le physicien Paul Dirac. Il ne peut être défini de manière rigoureuse que dans le cadre de la théorie des distributions ou dans un cadre restreint, comme une mesure.

Cependant, le delta de Dirac est souvent représentée de manière informelle comme une fonction dégérére qui serait nulle partout sauf en $0$ et dont l'intégrale vaudrait $1$. C'est une représentation analogue à ce qu'en physique on appelle une masse de Dirac pour désigner une masse ou une charge ponctuelle, sans dimension d'espace.

Défintions

Définition formelle

Le delta de Dirac peut être défini de manière formelle sous forme intégrale de la manière suivante. Pour une fonction $f\,$ définie sur $\mathbb {R}$ et continue dans un voisinage de $y$, on a

$\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta (x-y)\,dx=f(y)$

Cette définition a été introduite par Paul Dirac dans les années 1920 pour ses travaux de recherche en mécanique quantique. Bien qu'il est facilement démontrable qu'une fonction $\delta$ avec une telle propriété ne peut pas exister, cette définition s'est révélée très utile en pratique et a été rapidement adoptée en physique. Bien qu'il était clair pour Paul Dirac que ce $\delta$ n'était pas une fonction au sens strict, son idée était que sa valeur au point 0 était infinie d'un niveau « suffisamment élevé » pour permettre la propriété de cette définition. Une formalisation mathématiquement correcte du delta de Dirac n'a été possible que bien des années plus tard dans le cadre de la théorie des distributions introduite par Laurent Schwartz.

Le delta de Dirac comme distribution

Une définition rigoureuse du delta de Dirac dans le cadre de la théorie des ditributions consiste le présenter comme une forme linéaire continue sur l'espace noté ${\mathcal {D}}(\Omega )$ des fonctions test à valeur réelle définies sur un ensemble $\Omega$, infiniment dérivables et à support compact. Par définition, à une fonction test $\varphi \in {\mathcal {D}}(\Omega )$, la distribution de Dirac $\delta$ fait correspondre la valeur $\varphi (0)$. On note

$\forall \,\varphi \in {\mathcal {D}}(\Omega )\,,\quad \langle \delta ,\varphi \rangle =\varphi (0)$.

C'est une distribution à support compact, dont le support est réduit à $\{0\}\,$. Par extension, pour un point quelconque $a\in \Omega$, on peut également définir la distribution de Dirac $\delta _{a}$ par

$\forall \,\varphi \in {\mathcal {D}}(\Omega )\,,\quad \langle \delta _{a},\varphi \rangle =\varphi (a)$.

Dans ce cas, le support de $\delta _{a}$ est le point $\{a\}\,$.

Le delta de Dirac comme mesure

Soit $(\Omega ,{\mathcal {B}})$ un espace mesurable et $a\in \Omega$. On appelle mesure de Dirac au point $a$ (ou encore masse de Dirac au point $a$) la mesure notée $\delta _{a}$ sur $(\Omega ,{\mathcal {B}})$ telle que

$\forall \,A\in {\mathcal {B}}\,,\quad \delta _{a}(A)=1\ {\textrm {si}}\ a\in A\quad {\textrm {et}}\quad \delta _{a}(A)=0\ {\textrm {si}}\ a\notin A$.

Représentations

Généralités

La fonction δ peut être vue comme limite d'une suite (δ_a) de fonctions

$\delta (x)=\lim _{a\to 0}\delta _{a}(x),$

Certains appellent de telles fonctions δ_a des fonctions « naissantes » de δ. On peut construire un exemple de telle suite de fonctions en utilisant des fonction gaussiennes

$\delta _{a}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\,\pi a}}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2a}}}$

Celles-ci sont très utilisées en physique.

Mais si la limite est employée de manière trop imprécise, des non-sens peuvent en résulter, comme d’ailleurs dans n'importe quelle branche de l’analyse en mathématique.

La notion d’approximation de l’unité, a une signification particulière en analyse harmonique, en rapport avec la limite d’une suite qui converge vers un élément neutre pour l'opération de convolution (sur des groupes comme par exemple le groupe unité). Ici l’hypothèse et faite que la limite est celle d’une suite de fonctions positives.

Exemple élémentaire

Pour les non-mathématiciens, la «dérivation» de la fonction de Heaviside ou fonction unité, ou fonction échelon, qui conduit au deuxième exemple donné dans le paragraphe suivant, offre une bonne introduction à la fonction de Dirac ou impulsion.

Pour cela, on considère une suite de fonctions définies par

$H_{a}(x-x_{0})=0{\mbox{ si }}x\leq x_{0}-a$ $H_{a}(x-x_{0})={1 \over 2}(1+{x-x_{0} \over a}){\mbox{ si }}x>x_{0}-a{\mbox{ et }}x<x_{0}+a$

$H_{a}(x-x_{0})=1{\mbox{ si }}x\geq x_{0}+a$

Les dérivées δ_a(x) valent 1 / 2a entre x₀-a et x₀+a : l'aire enfermée par la courbe vaut 1.

A partir de là, on peut écrire

$\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta _{a}(x-x_{0})dx=\lim _{a\to 0}\int _{x_{0}-a}^{x_{0}+a}f(x){1 \over 2a}dx$

Il existe donc un nombre c compris entre x₀-a et x₀+a tel que

$\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta _{a}(x-x_{0})dx=\lim _{a\to 0}\int _{x_{0}-a}^{x_{0}+a}f(c){1 \over 2a}dx$

Cette expression se réduit à f(c) qui tend vers f(x₀) lorsque a tend vers 0, ce qui démontre pour la fonction de Dirac l'équation de définition de la distribution de Dirac :

$\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta (x-x_{0})dx=f(x_{0})$

Autres exemples

Quelques fonctions de limite δ sont :

$\delta _{a}(x)={\frac {1}{\pi }}{a \over a^{2}+x^{2}}$

$\delta _{a}(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2a}}{\rm {{\,si\,}-a<x<a}}\\0\mathrm {\,sinon} \end{matrix}}\right.$

$\delta _{a}(x)={\frac {1}{a{\sqrt {\pi }}}}\mathrm {e} ^{-x^{2}/a^{2}}$

$\delta _{a}(x)=\partial _{x}{\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{-x/a}}}=-\partial _{x}{\frac {1}{1+\mathrm {e} ^{x/a}}}$

$\delta _{a}(x)={\frac {a}{\pi x^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {x}{a}}\right)$

$\delta _{a}(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{a}}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-1/a}^{1/a}\cos(kx)\;dk$

$\delta _{a}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} kx-a|k|}\;dk$

$\delta _{a}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}ax^{2}+\mathrm {i} kx}\;dk$

Applications

Probabilités

Une densité de probabilité, par exemple celle de la loi normale, est représentée par une courbe qui enferme une aire égale à 1. Si on fait tendre sa variance vers 0, on obtient à la limite un delta qui représente la densité de probabilité d'une variable certaine avec la probabilité 1. Il s'agit là d'une curiosité qui présente un intérêt pratique limité mais elle se généralise d'une manière intéressante.

La manière la plus simple pour décrire une variable discrète qui prend des valeurs appartenant à un ensemble dénombrable consiste à utiliser sa fonction de probabilité qui associe une probabilité à chacune des valeurs. On peut aussi considérer une pseudo-densité de probabilité constituée par une somme de fonctions de Dirac associées à chacune des valeurs avec un poids égal à leurs probabilités. Dans ces conditions, les formules intégrales qui calculent les espérances des variables continues s'appliquent aux variables discrètes en tenant compte de l'équation rappelée ci-dessus.

Analyse des enregistrements

Pour déterminer le contenu de l'enregistrement d'un phénomène physique en fonction du temps, on utilise généralement la transformation de Fourier. De nos jours, les enregistrements analogiques continus de phénomènes physiques ont cédé la place à des enregistrements numériques échantillonnés avec un certain pas de temps.

La multiplication d'une fonction continue par un «peigne de Dirac», somme de deltas équidistants, a une transformée de Fourier égale à l'approximation de celle de la fonction d'origine par la méthode des rectangles. En utilisant un développement en série de Fourier du peigne, on montre que le résultat donne la somme de la transformée vraie et de toutes ses translatées par la fréquence d'échantillonnage. Si celles-ci empiètent sur la transformée vraie, c'est-à-dire si le signal contient des fréquences supérieures à la moitié de la fréquence d'échantillonnage, le spectre est replié. Dans le cas contraire il est possible de reconstituer exactement le signal par la formule de Shannon.