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Devoir Libre de Mathématique n°11

Exercice 1

Cas n°1

a) Voir Annexe 1

b) ${\frac {b-a}{c-a}}$ $={\frac {1+i-2i}{{\frac {1}{2}}+{\frac {3}{2}}i-2i}}$ $={\frac {1(1-i)}{{\frac {1}{2}}(1-i)}}=2$

c) ${\overrightarrow {AB}}=2{\overrightarrow {AC}}$

d) ${\overrightarrow {AB}}$ et ${\overrightarrow {AC}}$ sont colinéaires donc les points $A,B,C$ sont alignés

Cas n°2

a) ${\frac {b-a}{c-a}}$ $={\frac {1+i-({\frac {17}{5}}+{\frac {1}{5}}i)}{3-i-({\frac {17}{5}}+{\frac {1}{5}}i)}}$ $={\frac {-{\frac {12}{5}}+{\frac {4}{5}}i}{-{\frac {2}{5}}+{\frac {6}{5}}i}}$ $={\frac {-6+2i}{-1-3i}}\times {\frac {-1+3i}{-1+3i}}$ $={\frac {6+18i+2-6}{1-3i+3i+9}}$ $={\frac {20}{10}}i$ $=2i$ C'est un imaginaire pur

b) ${\overrightarrow {AB}}=2i{\overrightarrow {AC}}$ et $\arg 2i={\frac {\pi }{2}}$ Le triangle $ABC$ est rectangle

Cas n°3

a) ${\frac {b-a}{c-a}}$ $={\frac {1+i-i}{{\frac {1}{2}}+i(1-{\frac {\sqrt {3}}{2}})-i}}$ $={\frac {1}{{\frac {1}{2}}-i(1-{\frac {\sqrt {3}}{2}})}}\times {\frac {{\frac {1}{2}}+i(1-{\frac {\sqrt {3}}{2}})}{{\frac {1}{2}}+i(1-{\frac {\sqrt {3}}{2}})}}$

$\left|{\frac {b-a}{c-a}}\right|$ $={\sqrt {\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}}}$ $={\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}}}=1$

Soit $\theta$ un argument de ${\frac {b-a}{c-a}}$

$\cos \theta ={\frac {\frac {1}{2}}{1}}={\frac {1}{2}}$

$\sin \theta ={\frac {\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}{1}}={\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}$

$\arg \left({\frac {b-a}{c-a}}\right)={\frac {\pi }{3}}+2k\pi$

b)$\left({\overrightarrow {AB}};{\overrightarrow {AC}}\right)={\frac {\pi }{3}}$

$\|{\overrightarrow {AB}}\|=\|{\overrightarrow {AC}}\|$

c) $ABC$ est un triangle isocèle avec un angle de $60^{\circ }$ donc $ABC$ est un triangle équilatéral

d) Voir Annexe 2

Exercice 2

a) $z^{2}-6z+12=0$

$\Delta =(-6)^{2}-4\times 1\times 12=36-48=-12$

$u={\frac {6+{\sqrt {12}}i}{2}}={\frac {6+2{\sqrt {3}}i}{2}}=3+{\sqrt {3}}i$

${\bar {u}}=3-{\sqrt {3}}i$

b) $|u|=|{\bar {u}}|={\sqrt {3^{2}+{\sqrt {3}}^{2}}}={\sqrt {12}}=2{\sqrt {3}}$

Soit $\Theta$ un argument de $u$

$\cos \Theta ={\frac {3}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {3{\sqrt {3}}}{6}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$

$\sin \Theta ={\frac {\sqrt {3}}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {1}{2}}$

$\arg u={\frac {\pi }{6}}+2k\pi$

$\arg {\bar {u}}=-\arg u=-{\frac {\pi }{6}}-2k\pi$

c) $v=3+{\sqrt {3}}i-4=-1+{\sqrt {3}}i$

$|v|={\sqrt {1^{2}+{\sqrt {3}}^{2}}}={\sqrt {4}}=2$

Soit $\Theta$ un argument de $v$

$\cos \Theta ={\frac {-1}{2}}$

$\sin \Theta ={\frac {\sqrt {3}}{2}}$

$\arg v={\frac {2\pi }{3}}+2k\pi$

$v=2e^{\frac {2i\pi }{2}}$

d)$\left|{\frac {u}{v}}\right|={\frac {|u|}{|v|}}={\frac {2{\sqrt {3}}}{2}}={\sqrt {3}}$

$\arg {\frac {u}{v}}=\arg u-\arg v={\frac {\pi }{6}}-{\frac {2\pi }{3}}={\frac {-\pi }{2}}$

e) Le point $O$ a pour affixe $o=0$

$({\overrightarrow {OV}};{\overrightarrow {OU}})=\arg {\frac {u-o}{v-o}}=\arg {u}{v}={\frac {-\pi }{2}}$

$OUV$ est un triangle rectangle en $O$

${\frac {o-u}{a-u}}={\frac {0-3+{\sqrt {3}}i}{4-3-{\sqrt {3}}i}}={\frac {1+{\sqrt {3}}i}{-3+{\sqrt {3}}i}}\times {\frac {-3-{\sqrt {3}}i}{-3-{\sqrt {3}}i}}$ $={\frac {-3-{\sqrt {3}}i-3{\sqrt {3i}}+3}{9+3{\sqrt {3}}i-3{\sqrt {3}}i+3}}$ $={\frac {-4{\sqrt {3}}i}{12}}={\frac {-{\sqrt {3}}}{3}}i$ IL s'agit d'un imaginaire pur négatif

$({\overrightarrow {UA}};{\overrightarrow {UO}})=\arg {\frac {o-u}{a-u}}={\frac {-\pi }{2}}$

$OUA$ est un triangle rectangle en $U$

f) Voir Annexe n°3