Utilisateur:Jean-Charles.Gilbert/Brouillon6

Stabilité de solution

Cet article d'analyse mathématique non lisse traite de la stabilité des solutions d'une inclusion fonctionnelle, c'est-à-dire de l'existence et de l'évolution régulière de ces solutions en présence de perturbations de cette inclusion fonctionnelle. Cette notion de stabilité esst donc à rapprocher de l'existence et la régularité d'une fonction implicite pour une équation.

Soyons plus précis. On suppose donnés deux espaces vectoriels $\mathbb {E}$ et $\mathbb {F}$ et un espace topologique $\mathbb {P}$. On considère l'inclusion fonctionnelle (ou équation généralisée) en $x\in \mathbb {E}$ avec perturbation $p\in \mathbb {P}$ suivante :

$F(x,p)+N(x,p)\ni 0,$

où $F:\mathbb {E} \times \mathbb {P} \to \mathbb {F}$ est une fonction et $N:\mathbb {E} \times \mathbb {P} \multimap \mathbb {F}$ est une multifonction. Il faut voir cette inclusion comme une perturbation de l'inclusion $F(x)+N(x)\ni 0$, dans laquelle $F\equiv F(\cdot ,p_{0})$ et $N\equiv N(\cdot ,p_{0})$ pour une certaine valeur $p_{0}$ du paramètre $p$. L'inclusion fonctionnelle ci-dessus signifie que, pour $p\in \mathbb {P}$ donné, on cherche un point $x\in \mathbb {E}$ tel que l'ensemble $F(x,p)+N(x,p)$ contienne l'élément nul de $\mathbb {F}$ ou encore tel que l'ensemble $N(x,p)$ contienne $-F(x,p)$. On s'intéresse à des conditions assurant la variation tranquille (continuité, tranquillité, lipschitzianité, ...) des solutions lorsque $p$ varie autour de $p_{0}$.

Le problème s'apparente à celui que traite le théorème des fonctions implicites, mais dans un cadre beaucoup plus général.