Utilisateur:Cyber74/brouillon1

En géométrie, le théorème japonais pour les quadrilatères dit que les centres des cercles inscrits des triangles d'un quadrilatère inscriptible sont les sommets d'un rectangle.

En traçant les diagonales du quadrilatère, on obtient quatre triangles (chaque diagonale crée deux triangles). Les centres des cercles inscrits dans ces triangles forment un rectangle.

Soit $ABCD$ un quadrilatère inscriptible quelconque et soient $M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}$ les centres des cercles inscrits dans les triangles $ABD,ABC,BCD,ACD$. Alors le quadrilatère $M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}$est un rectangle.

On peut généraliser ce théorème pour prouver le théorème japonais. Pour prouver le cas des quadrilatères inscriptibles, il faut construire le parallélogramme dont les côtés passent par les sommets du rectangle tout en étant parallèles aux diagonales du quadrilatère. La construction montre que le parallélogramme est un losange, ce qui équivaut à montrer que la somme des rayons des cercles inscrits tangents à chaque diagonale sont égaux.

Le cas du quadrilatère prouve immédiatement le cas général par la triangulation d'un polygône.

Voir aussi

• Théorème de Carnot
• Sangaku
• Wasan

Références

Cet article est issu en partie ou en totalité de l'article anglais.

• In Search of the Japanese Theorem
• Japanese Theorem at Cut-the-Knot
• Japanese theorem, interactive proof with animation