Utilisateur:Claudeh5/jumeaux

J'ouvre cette page pour exprimer mon désaccord profond avec l'actuel page paradoxe des jumeaux qui ne tient aucun compte des faits mathématiques précis, qui, quand ils sont énoncés, ne sont là qu'à titre de décoration et non de justification.

Le paradoxe des jumeaux est une expérience de pensée qui montre que la relativité restreinte est contradictoire. Dans les ouvrages d'enseignement, il est mis en avant pour ses vertus pédagogiques et peut être l'occasion de se livrer à des calculs précis sur le ralentissement des horloges.

Le paradoxe

Des frères jumeaux sont nés sur terre. L'un fait un voyage dans l'espace en fusée à une vitesse proche de celle de la lumière. D'après le phénomène de ralentissement des horloges en mouvement de la relativité restreinte, celui qui est resté sur terre voit que celui qui voyage vieillit moins vite que lui. Mais celui qui voyage voit son frère s'éloigner à grande vitesse de lui et, d'après le même phénomène, voit le frère resté sur terre vieillir moins vite que lui. Ainsi d'après ce raisonnement utilisant la relativité restreinte, chacun voit l'autre vieillir moins vite : c'est absurde car au retour du voyageur, ils ne peuvent être tous les deux plus vieux que l'autre !

Sa résolution prétendue

En réalité, les situations des jumeaux ne sont pas symétriques : le sédentaire coïncide avec un seul repère galiléen (en général celui de la Terre du Soleil (?), car pour que l'effet soit notable le caractère non-inertiel du référentiel du voyageur doit être vraiment plus marqué que celui de la Terre) pendant toute la durée du voyage, tandis que le voyageur effectue un demi-tour et coïncide ainsi avec au moins deux repères galiléens successifs.

Critique:on voudra bien m'expliquer la notion de référentiel inertiel plus marqué qu'un autre. D'autre part, quand on en est à soutenir que la solution est due au changement de repère inertiel au retournement, il faut ici dire que le repère terrestre est un repère en rotation sur lui-même pendant toute la durée du voyage, qu'il est en rotation autour du Soleil également pendant toute la durée du voyage: comme repère inertiel plus marqué que celui du voyageur, on fait assurément mieux !

Histoire

Au sujet de la dilatation du temps prédite par la relativité restreinte, Albert Einstein indique en 1911

«  Si nous placions un organisme vivant dans une boîte … on pourrait s'arranger pour que cet organisme, après un temps de vol aussi long que voulu, puisse retourner à son endroit d'origine, à peine altéré, tandis que les organismes correspondants, qui sont restés dans leur position initiale auraient depuis longtemps cédé la place à de nouvelles générations. Car pour l'organisme en mouvement, la grande durée du voyage était un court instant, à condition que le mouvement ait été effectué quasiment à la vitesse de la lumière.  »

Modèle:Wikisourcetexte La même année, Paul Langevin développe cette expérience de pensée sous une forme qui passe à la postérité : « le boulet de Jules-Verne Langevin » où il relate de manière réaliste le déroulement de la vie de deux frères jumeaux dont l'un voyage à une vitesse proche de la lumière et l'autre reste sur Terre. Cet exposé, lors de la Conférence au Congrès de philosophie de Bologne en 1911, permet de populariser la notion du temps en relativité et d'illustrer la révolution philosophique qu'elle apporte.

Le nom de « paradoxe » a été donné à l'expérience de pensée par ceux qui y voient une incohérence de la théorie : ils arguent en effet de la symétrie du problème en invoquant la relativité du mouvement et concluent que, quel que soit le jumeau choisi, celui-ci devrait mesurer une durée plus courte que son frère et se retrouver plus jeune lors des retrouvailles, d'où une contradiction.

Plaisanterie

Si la relativité tombe à l'eau, va-t-elle remonter à la surface ? Réponse Non. Pourquoi ? À cause du boulet de Langevin !

Il est à remarquer que pour quiconque connait les véritables écrits de Albert Einstein (3 citations issues de 3 ouvrages quant à la notion de trajectoire rectiligne à vitesse uniforme, avec une vitesse constante), le texte publié par Langevin (placer le lien et donner 3 ou 4 citations utilisant le mot "accélération") est totalement incompatible avec la Relativité Restreinte telle qu'elle est définie par Einstein, par son collaborateur Banesh Hoffman et par le relativiste Merleau-Ponty. (citations complémentaires des deux derniers)

On peut deviner que le succès médiatique obtenu par ces jumeaux ainsi que l'appui politique du stalinien Paul Langevin auprès de la communauté scientifique française et internationale ont incité Albert Einstein à taire l'imposture et la non compréhension de ses propres thèses par son allié.

Cet aspect est d'autant plus frappant que Paul Langevin semble ne pas comprendre que le point de vue de Einstein se réfère sans le dire à la vision de Mach et à l'école de l'empirio-criticisme (école dénoncée par Lénine dans son Matérialisme et empiriocriticisme), une école pour qui la science se résume à mettre de l'ordre dans nos sensations. D'où la confusion entre les matérialistes qui croient que le temps relativiste est un temps qui ralentit effectivement et les einsteinistes vrais (les einsteinistes machiens qui pensent que l'on "invente' la science, et qu'il est absurde de considérer qu'elle pourrait être "découverte") pour qui la notion de temps réel est inconsistante, pour qui le temps n'est rien d'autre que la perception locale pour l'observateur du temps qui passe. --Yanick Toutain (d) 19 mars 2010 à 22:33 (CET)

Le voyageur de Langevin

Imaginons deux frères jumeaux appelés Pantoufle et Bougeotte. Pantoufle reste sur Terre tandis que son frère entame un voyage dans l'espace à très grande vitesse(ce qui est par ailleurs de nos jours impossible à réaliser concrètement). Lorsque Bougeotte revient sur Terre, il est censé découvrir son frère Pantoufle plus âgé que lui. C'est le phénomène de dilatation du temps prévu par la relativité restreinte tenant en ce que pour les observateurs terrestres une horloge en mouvement semble tourner plus lentement que les leurs. Pour Pantoufle, Bougeotte a donc moins vieilli que lui-même.

Comment expliquer ce qui se passe pendant le trajet ?

Puisqu'en relativité restreinte les vitesses sont réputées relatives, peut-on considérer que c'est la fusée qui est au repos et la Terre qui se déplace ? Les effets de réciprocité entre deux systèmes de référence inertiels, peuvent-ils inverser les conclusions relatives au vieillissement moindre du jumeau voyageur ? Comme aucun des jumeaux ne peut être à la fois le plus âgé et le moins âgé, n'y aurait-il pas là un « paradoxe » au sens de contradiction logique ?

Temps propre

Alors que la physique de Newton était basée sur le suivi de points repérés dans un espace absolu en fonction d'un temps absolu, la relativité restreinte assure le suivi d’événements. Un événement est caractérisé par une position (où il se passe) et un temps (à quel moment il se passe). La valeur des coordonnées dépend du système (repère) dans lequel on effectue les mesures. Le propre de la théorie de la relativité restreinte est d'établir un lien entre les différents coordonnées.

On parle à juste titre de réciprocité entre repères, les vitesses n'ayant rien d'absolu. Cependant il existe un très grand nombre de situations où l'on examine le mouvement d'une particule, ou d'une fusée. Dans ce cas, il est évident qu'un repère joue un rôle bien particulier, celui dans lequel la particule (la fusée) est au repos. De ce point de vue il faut être vigilant avant d'affirmer que tous les repères sont équivalents.

Si $\tau$ est le temps qu'indique l'horloge interne dans la fusée de Bougeotte. Par rapport à elle-même, la fusée est au repos. Elle est également au repos par rapport aux autres fusées qui l'accompagnent et qui constituent avec elle l'ensemble du système de référence. En revanche pour les observateurs terrestres répartis le long du trajet, le temps mesuré sera le temps terrestre, noté t, la position étant notée x (c'est la coordonnée de l'observateur devant lequel passe la fusée à l'instant temps t).

Considérons alors deux événements successifs, par exemple le passage de la fusée devant l'observateur terrestre x = 0 au temps t = 0 et le passage devant l'observateur x au temps t. Dans la fusée les temps correspondant à ces événements sont 0 et τ. Dans ces conditions, la relativité restreinte énonce le résultat fondamental suivant :

La quantité

$\ c^{2}\,\tau ^{2}=c^{2}\,t^{2}-x^{2}\$

ne dépend pas du repère dans lequel elle est évaluée.

Le temps $\tau$ est appelé le temps propre de la fusée.

Cette formule montre immédiatement qu'une durée propre est toujours plus petite que la même durée évaluée dans un autre repère. Ce résultat est capital et constitue la façon correcte d'énoncer l'effet de relativité restreinte sur la mesure des temps. Le temps mesuré dans la fusée pour des événements se produisant dans la fusée sera plus petit que celui mesuré sur Terre. Les horloges de la fusée semblent ralentir. Du point de vue des Terriens le temps de la fusée est comme dilaté.

Quelques remarques préalables

• Dans un référentiel galiléen le temps s'écoule toujours de la même manière en tout point de ce référentiel. Il en résulte que dans un même référentiel galiléen, le temps s'écoule pareillement même pour une horloge au repos dans ce référentiel mais qui avance vers un observateur dans un autre référentiel ou qui le fuit.
• La relativité restreinte attribue une durée $\Delta \tau =\Delta t{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ dans un référentiel galiléen animé d'une vitesse v par rapport à un autre pour une durée $\Delta t$ dans le référentiel considéré comme "immobile". Ainsi, la durée d'un évènement est indépendante de la distance de l'observateur par rapport à cet évènement.

On se place tout d'abord ans le cadre d'un modèle de Minkowski où tous les repères considérés sont en mouvements parallèles à l'axe des x, cela pour simplifier. De ce que $c={\frac {\Delta x}{\Delta t}}$ on en déduit que $(\Delta x)^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}$ et donc que $(\Delta t)^{2}-c^{2}(\Delta x)^{2}=0$. On en déduit donc que pour une vitesse v inférieure à c, quelque soit la loi de cette vitesse, on aura toujours $(\Delta t)^{2}-v^{2}(\Delta x)^{2}>0$ et qu'ainsi les horloges en mouvement, quelle que soit la loi de la vitesse au cours du temps, sont toujours vues en retard par rapport à celles qui sont considérées comme au repos.

Dilatation des durées

Les temps mesurés sur Terre seront donc toujours plus longs que ceux mesurés dans la fusée. La formule précédente permet de calculer immédiatement le rapport entre temps propre de la fusée et temps dans le repère extérieur terrestre. La fusée se déplaçant à la vitesse v parcourt la distance x = v t pendant le temps t et par conséquent en écrivant

$c^{2}\tau ^{2}=c^{2}t^{2}-v^{2}t^{2}\,,$

on aboutit immédiatement à la célèbre formule

$\tau =t\,{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}$

ou

$t=\tau \,/\,{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}\equiv \gamma \tau \ \qquad {\text{avec}}\qquad \gamma =[1-(v^{2}/c^{2})]^{-1/2}\ .$

Le « paradoxe des jumeaux » utilise cette augmentation des durées prévue par la relativité restreinte lorsqu'on passe du temps propre intérieur d'un mobile donné (fusée, particule) à un temps extérieur (la Terre, le laboratoire).

$d\tau ^{2}=dt^{2}-dx^{2}/c^{2}\,$

avec un signe « - » devant le carré de dx. Ce signe « - » change tout car il entraîne que la durée propre est toujours plus petite que l'intervalle temporel dt mesuré dans n'importe quel repère.

Le temps propre infinitésimal étant donné par la formule ci-dessus, le temps propre total d'un élément matériel évoluant à une vitesse v=v(t) par rapport à un référentiel galiléen est

$\tau =\int _{0}^{t}{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}\ dt\ ,$

où dx a été remplacé par vdt.

Dans le cas général, avec une vitesse variable, il suffira de faire le calcul de l'intégrale le long du chemin spatio-temporel parcouru avec une vitesse v(t).

Première situation

On suppose que le voyageur voyage à une vitesse v constante par rapport à un repère galiléen considéré comme immobile. Dans ce cas l'intégrale se calcule facilement et l'on a immédiatement, pour un phénomène se passant dans le repère du voyageur et observé depuis le repère galiléen "immobile" comme ayant une durée t, une durée propre égale à la quantité

$\tau =t{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}\ .$

Ainsi ces phénomènes ont des durées, pour le voyageur, plus petites que les durées terrestres par le facteur ${\sqrt {1-(v/c)^{2}}}$.

Deuxième situation

1. Le temps indiqué par une horloge est égale à l'intégrale ${\frac {1}{c}}\int _{a}^{b}ds$ étendue à la ligne d'univers de cette horloge.
2. pour une accélération a tridimensionnelle ordinaire, le calcul s'effectue ainsi dans le repère au repos auquel on rapporte le mouvement:

${\frac {d}{dt}}{\frac {v}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=a$

donc

${\frac {v}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=at+cte.$

On peut supposer que pour t=0, v=0 d'où la constante égale à 0. On trouve ainsi en résolvant en v

${\frac {dx}{dt}}=v={\frac {at}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}t^{2}}{c^{2}}}}}}.$

On intègre de nouveau en supposant x=0 quand t=0 pour avoir finalement

$x={\frac {c^{2}}{a}}\left({\sqrt {1+{\frac {a^{2}t^{2}}{c^{2}}}}}-1\right).$

Quant au temps propre il vaut

$\int _{0}^{t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}dt=\int _{0}^{t}{\sqrt {\frac {c^{2}}{c^{2}+a^{2}t^{2}}}}dt={\frac {c}{a}}{\text{arcsh}}{\frac {at}{c}}.$

Troisième situation

La troisième situation est un mixage des deux premières. On suppose que le voyageur, Bougeotte, embarque dans un astronef et quitte le référentiel terrestre (considéré comme galiléen et immobile) par une première phase accélérée, suivie d'une phase à vitesse constante et d'une phase décélérée de même durée que la phase accélérée du départ, amenant sa vitesse à 0, le retour s'effectuant comme l'aller mais en sens inverse. Si la durée de chaque phase accélérée est A et la durée de la phase à vitesse constante de T, mesurées dans le référentiel terrestre, le voyage de son frère a duré au total 2T+4A pour Pantoufle.

Quelle est la durée pour Bougeotte ?

Pantoufle, qui connaît bien la relativité restreinte répond facilement à cette question et sa réponse est

${\frac {2T}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}A^{2}}{c^{2}}}}}}+{\frac {4c}{a}}\ {\text{arcsh}}\left({\frac {aA}{c}}\right),$

ajoutant d'une part que l'on voit ainsi l'influence de l'accélération dans le second terme, le premier terme étant dû aux deux phases à vitesse constante et d'autre part que si l'on calcule la différence entre ces durées, on voit que la différence est non nulle. Pantoufle affirme qu'il est maintenant plus vieux que son frère jumeau Bougeotte.

Interrogeons Bougeotte.

Là les choses sont nettement plus compliquées mathématiquement et nécessitent semble-t-il de travailler dans le cadre de la théorie de la relativité générale, seule à même de calculer le temps propre de Pantoufle ou de Bougeotte vu depuis un référentiel non galiléen donc dans les phases accélérées. Nous admettrons, n'ayant pas de source à fournir dans ce cas, que les temps propres de Pantoufle et de Bougeotte calculés par Pantoufle sont les mêmes respectivement que ceux calculés par Bougeotte dans son repère galiléen. I y a donc dans ce cas accord entre les deux frères.

Qu'en est-il des phases de vitesse constante ?

Ici, la réponse est beaucoup plus facile. La mécanique postule qu'il n'y a pas de mouvement absolu et que si un corps A se meut à une vitesse v par rapport à un autre B, B se meut à une vitesse -v par rapport à A. Donc par rapport au référentiel galiléen de Bougeotte pendant la phase de vitesse constante v par rapport au référentiel terrestre, le référentiel terrestre a une vitesse constante égale à -v. On est donc exactement dans le cadre de la première situation. Si Bougeotte mesure une durée T' dans son repère pour cette phase, la relativité dit que la durée de cette phase est de $T'{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ pour Pantoufle.

On doit donc avoir simultanément car ce sont les durées des temps propres du même évènement dans le même repère

$T=T'{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

et

$T'=T{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

ce qui n'est possible, si l'un des deux, T ou T', n'est pas nul, que si v=0 !

Mais j'entends déjà les cris des tenants de la relativité qui s'apprêtent à me dire que je ne peux écrire cela, probablement au nom du saint mystère de la simultanéité... Aussi je les invite à une quatrième situation.

Quatrième situation

On considère l'expérience suivante: deux référentiels galiléens R et R' sont en mouvement rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre à la vitesse v telle que $\gamma =2$. Sur chacun des deux référentiels se trouvent tout le long des détecteurs de lumière détectant toute lumière émise depuis l'autre référentiel. Quand un signal S1 émis de R touche un détecteur de R', le signal est aussitôt réémis en direction de R (S2) par un miroir semi-réfléchissant. L'autre partie du signal est détectée et active un temporisateur réglé sur 1 milliseconde (temps propre de R'). Le délai écoulé, un signal lumineux S3 est émis vers R qui le détecte de la même manière.

La distance entre R et R' est inférieur à 30 cm de sorte que le temps s'écoulant entre l'émission depuis l'un des référentiels et la réception par l'autre est inférieur à 2 nanosecondes. Deux observateurs, l'un dans R et l'autre dans R' complètent le dispositif. Ils se sont entendus préalablement pour l'expérience et se retrouveront par la suite pour en discuter.

Deux évènements précis se sont déroulés dans chacun des référentiels. On demande quelle est la durée propre entre ces deux évènements. La première durée, D1, est le temps compris entre l'émission du signal S1 de R et la réception du signal S3 émis de R' vers R, évènements se réalisant dans R.

La seconde durée, D2, est le temps s'écoulant entre la réception de S1 et l'émission de S3, évènements se trouvant dans R'.

Compte tenu de la très faible distance séparant R de R', les durées ne peuvent différées que de 4 nanosecondes au plus (il faut multiplier par 1/γ=2).

Que dit l'observateur se trouvant en R concernant D1 ? Compte tenu du protocole expérimental suivi, la durée D1 est de 2 millisecondes à 8 nanosecondes près, puisque la temporisation dans R' est de 1 milliseconde et que $\gamma =2$.

Que dit l'observateur en R concernant D2 ? En observant un évènement de 2 millisecondes, la durée de D2 doit être de 1 milliseconde, ce que prévoit le protocole.

Que dit l'observateur en R' sur D2 ? il a duré exactement 1 milliseconde, ce qui est conforme au protocole.

Que dit l'observateur en R' de D1 ? Comme D2 a duré pour lui exactement 1 milliseconde et que le temps aller et retour des signaux ne peut dépasser 8 nanosecondes (toujours 1/γ) au total, D1 a duré 500 microsecondes.

On voit donc que la même durée D1 estimé dans le même repère a donc deux durées différentes, ce qui ne peut que laisser perplexe !

Si vous avez une autre explication, allez-y.

Notes et références

• (en)Voir le chapitre 4 Trip to Canopus du livre de Taylor et Wheeler, Spacetime Physics, Introduction to special relativity, second edition, W.H. Freeman and Company, 1992, pp 121-136

Articles connexes

• Calculs relativistes
• Intervalle d'espace-temps
• Relativité restreinte

Lien externe

• The Twin Paradox par Michael Weiss