Utilisateur:140Flo/Brouillon

Nombres Normaux

Démonstration nombre de Champernowne

Bon un premier essai de brouillon: On va montrer que le nombre de Champernowne, que l'on nommera c est normal en base 10.

Démonstration

On doit montrer que les chaines de caractères : $\{0\},\{1\},...,\{9\}$ doivent apparaître avec une fréquence de ${\frac {1}{10}}$ de même les chaînes $\{0,0\}$,$\{0,1\}$,...,$\{9,9\}$ doivent elles apparaître avec une fréquence de ${\frac {1}{100}}$ et ainsi de suite.

Commençons par définir $X_{n}=1,2,....,a_{1}a_{2}...a_{m}$ les blocs des n premiers chiffres de c et $\Delta (a_{1}a_{2}...a_{m})$ le nombre représenté par $a_{1}a_{2}...a_{m}$.

Pour montrer la normalité de c le problème est de mesurer la fréquence d'apparition d'un bloc $B_{k}=b_{1}b_{2}....b_{k}$ dans les m premières décimales du nombre. Considérons les blocs

$\underbrace {y_{1}y_{2}...y_{s}} _{Y_{s}}\underbrace {b_{1}b_{2}...b_{k}} _{B_{k}}\underbrace {z_{1}z_{2}...z_{t}} _{Z_{t}}$

Tels que :

$S+K+T\leq m$ et que $\Delta (y_{1}y_{2}...y_{s}b_{1}b_{2}...b_{k}z_{1}z_{2}...z_{t})\leq \Delta (a_{1}a_{2}...a_{m})$

Ce qui implique $y_{1}10^{s-1}+y_{2}10^{s-2}+...+y_{s}$ ≤ $a_{1}10^{m-k-t-1}+a_{2}10^{m-k-t-2}+...+a_{m-k-t}$

On a donc $\Delta (a_{1}a_{2}...a_{m-k-t})-1$ valeurs possibles pour le bloc $Y_{s}$ et $10^{t}$ pour le bloc $Z_{t}$.

Ainsi le nombre de blocs $Y_{s}B_{k}Z_{t}$ dans $X_{n}$ est de :

$\sum _{t=0}^{m-k-1}{10^{t}(\Delta (a_{1}a_{2}...a_{m-k-t})-1)}$

Ainsi le nombre d'apparitions du bloc $B_{k}$ dans $X_{n}$ est de :

$N(B_{k},X_{m})\geq \sum _{k=0}^{m-k-1}{10^{t}(\Delta (a_{1}a_{2}...a_{m}-k-t)-1)}$

De plus on a

$\Delta (a_{1}a_{2}...a_{m-k-t})=10^{-k-t}\Delta (a_{1}a_{2}...a_{m})$ alors :

$N(B_{k},X_{n})\geq \sum _{k=0}^{m-k-1}{10^{t}(\Delta (a_{1}...a_{m})10^{-k-t}-2)}\geq \sum _{k=0}^{m-k-1}{10^{-k}\Delta (a_{1}...a_{m})}-2\sum _{k=0}^{m-k-t}{10^{t}}\geq (m-k)\Delta (a_{1}...a_{m})10^{-k}-10^{m-k}$

Car $n\leq m(\Delta +1)$.

On a donc :

${\frac {N(B_{k},X_{n})}{n}}>{\frac {(m-k)\Delta (a_{1}a_{2}...a_{m})10^{-k}}{m(\Delta (a_{1}a_{2}...a_{m})+1)}}-{\frac {10^{m-k}}{m(\Delta (a_{1}a_{2}...a_{m})+1)}}$

D'autre part on a

${\frac {10^{m-k}}{m(\Delta (a_{1}a_{2}...a_{m})+1)}}\leq {\frac {10^{m-1}}{m(\Delta (a_{1}a_{2}...a_{m})+1)}}\leq$ $\underbrace {\frac {\Delta (a_{1}a_{2}...a_{m})}{m(\Delta (a_{1}a_{2}...a_{m})+1)}} _{\rightarrow 0}$

Ainsi : $\forall \epsilon \exists N$ tel que $\forall n>N$

${\frac {N(B_{k},X_{n})}{n}}>10^{-k}-\epsilon$

Vrai pour tout bloc $B_{k}$ de k chiffres ainsi :

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {N(B_{k},X_{n})}{n}}=10^{-k}$, c est donc normal en base 10.

 

Un exemple de nombre normal en base 6

De la même façon que pour les nombres de Champernowne et de Erdös on peut trouver des exemples explicites de nombres normaux dans d'autres bases. Par exemple $\alpha =\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{m}2^{3^{m}}}}$ est normal en base 2 mais pas en base 6.

Démonstration

En fait ce nombre contient plus de zéros qu'il ne devrait, c'est à dire que la fréquence d'apparition de zéro sera supérieur à ${\frac {1}{6}}$. On désignera par $\{.\}$ la partie fractionnaire du nombre. On remarquera que comme on travail en base 6, les chiffres suivant la nième décimale de $\alpha$ seront obtenus en calculant $\{6^{n}\alpha \}$.

Or on peut aussi écrire que : $\{6^{n}\alpha \}=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {3^{n}2^{n}}{3^{m}2^{3^{m}}}}=\sum _{m=1}^{\infty }{3^{n-m}2^{n-3^{m}}}={\Big \{}\sum _{m=1}^{\left[\ln _{3}{n}\right]}{3^{n-m}2^{n-3^{m}}}{\Big \}}+{\Big \{}\sum _{m=\left[\ln _{3}{n}\right]+1}^{\infty }{3^{n-m}2^{n-3^{m}}}{\Big \}}$

Et comme on a $n-3^{ln_{3}{n}}=n-e^{ln_{3}{n}ln{3}}=0$, on peut donc en conclure que dans l'expression précédente le premier terme est nul puisque tous les termes de la somme sont des entiers. Ainsi il nous reste :

$\{6^{n}\alpha \}={\Big \{}\sum _{m=\left[\ln _{3}{n}\right]+1}^{\infty }{3^{n-m}2^{n-3^{m}}}{\Big \}}$

Etudions maintenant le cas où n serait de la forme $n=3^{M}$, où M est un entier supérieur ou égal à 1 est observons le premier terme de la somme, comme $m=\ln _{3}{3^{M}}+1=M+1$ alors le premier terme de la somme correspond à :

$3^{n-(M+1)}2^{n-3^{M+1}}=3^{3^{M}-(M+1)}2^{3^{M}-3^{M+1}}=3^{3^{M}-M-1}2^{23^{M}}={\frac {3^{3^{M}}}{3^{M+1}}}{\frac {1}{4^{3^{M}}}}=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3^{M}}{\frac {1}{3^{M+1}}}$

On peut approcher la somme par son premier terme pour $M\geq 1$, on aura alors $\{6^{3^{m}}\alpha \}=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3^{m}}{\frac {1}{3^{m+1}}}$.

Ainsi on a trouver une approximation de $\{6^{3^{m}}\alpha \}$ qui donne rappellons-le les décimales de $\alpha$ à partir du rang $3^{m}$, or l'approximation $\left({\frac {3}{4}}\right)^{3^{m}}{\frac {1}{3^{m+1}}}$ est un très petit nombre même lorsque m est faible. Ainsi il doit nécessairement commencer par un grand nombre de 0 et donc désequillibrer la proportion de ce chiffre dans l'écriture en base 6 de $\alpha$. (En plus de tous les zéros "aléatoire" du développement du nombre, à partir du rang $3^{m}$ un grand nombre de zéros apparaissent).

Pour comprendre ce qui se passe, voici les premières décimales de $\alpha$ en base 6 :

$\alpha$=0.13014043000333425113055021300000012435550454322330115002435253205513
5234354101043000000000000000051411300540405554553031442504334351012413452351125142125134505
50354501505352205204434045215150510241155250042513005112445400104413115003242030321300000000000000000000000000000000000000000014...

Ainsi sans même comptabiliser les zéros "aléatoires" on constate que dans les 68536 premières décimales, la fréquence du zéro est de 0.208 ce qui est significativement supérieur a la valeur attendue de ${\frac {1}{6}}$. Mathématiquement parlant on va "compter" le nombre de zéros au début de $\left({\frac {3}{4}}\right)^{3^{m}}{\frac {1}{3^{m+1}}}$ (ce qui se fait en utilisant $\ln _{6}$).

Ainsi la fraction de zéro au sein des n premières décimales de $\alpha$ en base 6 dépasse alors :

 

Répartition des nombres normaux

Une fois que l'on a compris ce qu'est un nombre normal, il est légitime de se demander à quoi cela ressemble concrètement et de chercher un ou plusieurs exemples. Force est de constater que les exemples ne sont pas évidents à trouver et rien ne semble nous dire que des constantes “classiques” comme π, √2, e, $\ln {2}$ soient des nombres normaux. De même, on réalise vite que les nombres relatifs et rationnels sont eux aussi de piètres candidats. En effet les nombres rationnels possèdent un développement décimal périodique ce qui n'est pas compatible avec la notion de normalité.

Démonstration

Prenons $x={\frac {a}{b}}$ sous sa forme rationnelle (on peut supposer que pgcd(a,b)=1 pour l'unicité de l'écriture). Pour obtenir son développement, on pose la division pour obtenir le premier chiffre après la virgule, on est obligatoirement amené à descendre les zeros si le reste de la division était r. On doit donc diviser 10r par b. Comme le nombre de reste possible est limité\footnote{En fonction de la base choisie.}, on finira nécessairement par trouver deux mêmes restes, disons r1 et r2 et on obtiendra ainsi un développement cyclique.

Réciproquement : Supposons donné un nombre $0,a_{1}a_{2}a_{3}...a_{p}...a_{n}a_{p}...a_{n}...$ avec un développement périodique de période $\delta =(p-n+1)$. On a alors :

$10^{p}x-E(x10^{p})=10^{n}x-E(x10^{n})$ et donc $x={\frac {E(x10^{n})-E(x10^{p})}{10^{n}-10^{p}}}$ donc x est bien rationnel.

Si par exemple $x=0,321565656565656...$ alors $x={\frac {E(x10^{5})-E(x10^{3})}{10^{5}-10^{3}}}={\frac {32156-321}{99000}}={\frac {6367}{19800}}$.

 

Ainsi il semblerait que peu de nombres soient effectivement absolument normaux et pourtant c'est tout le contraire. En effet les nombres normaux sont présents en écrasante majorité, en effet Borel a démontré que presque tout nombre réel est absolument normal au sens de la mesure de Lebesgue

Théorème —  Dans $\mathbb {R}$, presque tout nombre est normal en toute base, au sens de la mesure de Lebesgue.

Démonstration

x ∈ [0,1[ et b un entier supérieur ou égal à 2, x possède alors un unique développement propre en base b, c'est à dire :
$x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\epsilon _{n}(x)}{b^{n}}}$ avec $\epsilon _{n}(x)\in \{0,..,b-1\}=A$
Etant donné un "mot" $m=(m_{1},...,m_{k})\in A^{k}$ on s'intéresse à la fréquence d'apparition de ce mots au sein des n premiers chiffre du développement de x en base b.
On se place sur l'espace probabilisé $\left(\Omega ,{\mathcal {A}},P\right)$ avec $\Omega$=[0,1[,${\mathcal {A}}$ sa tribu borélienne et P la mesure de Lebesgue.

Les $\epsilon _{n}(x)$ sont P indépendantes et équidistribuées avec $P(\epsilon _{i}=m_{i})={\frac {1}{b}}$. On fixe m dans A et les variables aléatoires $X_{j}=1_{\epsilon _{j}=m}$, alors ${\frac {n_{m}}{n}}={\frac {X_{1}+...+X_{n}}{n}}$ D'après la loi forte des grands nombres on a : ${\frac {n_{m}}{n}}{\underset {p.s}{\longrightarrow }}\ E[X_{1}]=E[1_{\epsilon _{j}=m}]=P(\epsilon _{j}=m)={\frac {1}{b}}$.
Ainsi presque tout éléments x de $\Omega$ est simplement normal en base b. Considérons maintenant un mot m=(u,v) de $A^{2}$. On considère les variables aléatoires $Y_{1}=1_{\epsilon _{1}=u,\epsilon _{2}=v}$, $Y_{2}=1_{\epsilon _{2}=u,\epsilon _{3}=v}$,...,$Y_{n-1}=1_{\epsilon _{n-1}=u,\epsilon _{n}=v}$. Ces variables aléatoires sont indépendantes de deux en deux, ainsi en utilisant la loi fortes des grands nombres on obtient :
$={\frac {Y_{1}+Y_{3}...+Y_{2n-1}}{n}}{\underset {p.s}{\longrightarrow }}\ E[Y_{1}]=P(\epsilon _{1}=u,\epsilon _{2}=v)={\frac {1}{b^{2}}}$.
$={\frac {Y_{2}+Y_{4}...+Y_{2n}}{n}}{\underset {p.s}{\longrightarrow }}\ E[Y_{2}]={\frac {1}{b^{2}}}$. On a donc ${\frac {Y_{1}+Y_{3}...+Y_{2n-1}}{2n-1}}$ et ${\frac {Y_{2}+Y_{4}...+Y_{2n}}{2n}}$ qui converge presque sûrement vers ${\frac {1}{b^{2}}}$. On raisonne de la même façon pour des mots de longueurs k. Comme l'intersection dénombrable d'évenements de probabilités 1 est encore un événements de probabilités 1 on :
Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle P(\text{x normal en base b})=\underset{\text{k entier}}{\cap} \underset{\text{m=(m_{1},...,m_{k})}}{\cap} P(x|\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{N(b,n,m)}{n} )=1 } . Ainsi en faisant l'intersection sur toutes les bases on onbtient :

$P({\text{x normal}})=1$. Presque sûrement tout nombre est normal, au sens de la mesure de Lebesgue.

 

Espaces Lp

Suites et séries de fonctions

On considérera les fonctions $f_{n}:X\rightarrow E=\mathbb {R} {\mbox{ ou }}\mathbb {C}$ où X est un espace de Banach.

Convergence

Une suite de fonctions $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge simplement si elle converge en tout points.

Une suite de fonctions converge uniformément si on a : $\forall \epsilon >0\exists N$ tel que $\forall n\geq N$ on a $|f_{n}(x)-f(x)|\leq \epsilon$.

Autrement dit $(f_{n})$ converge uniformément si et seulement si $\|f_{n}-f\|_{\infty }\rightarrow 0$ quand $n\rightarrow \infty$.

Critère de Cauchy —  $(f_{n})$ converge uniformément si et seulement si : $\forall \epsilon >0,\exists N$ tel que $\forall x,petq\geq N$ on a $|f_{p}(x)-f_{q}(x)|\leq \epsilon$

On définit une série de fonction $\sum f_{n}$ comme la suite des sommes partielles de suites de fonctions. Une série de fonctions converge donc simplement (respectivement uniformément) si et seulement si la suite des sommes partielle converge simplement (respectivement uniformément).

Définition —  $\sum f_{n}$ converge normalement si $\sum \|f_{n}\|_{\infty }$ converge.

On peut donner un critère de convergence normale utilisable en pratique :

Proposition —  $\sum f_{n}$ converge normalement si et seulement si $\exists V_{n}$ tel que $\|f_{n}\|_{\infty }\leq V_{n}$ tel que $\sum V_{n}$ converge.

On a aussi les liens suivants entre les différentes convergences :

Proposition —  $\sum f_{n}$ converge normalement $\Rightarrow$ $\sum f_{n}$ converge uniformément $\Rightarrow$ $\sum f_{n}$ converge simplement.

Pour des explications plus précise et les démonstrations associés on pourra consulter Convergence uniforme.

Exemples

i) on définit $f_{n}:x\in [0,1]\rightarrow x^{n}$ qui converge simplement vers $f(x)={\begin{cases}1,&{\mbox{si }}x=1\\0,&{\mbox{sinon }}\end{cases}}$.

$\ (f_{n})_{n}$ne converge pas uniformément sur [0,1[ mais converge uniformément sur $[0,\alpha ]$ où $\alpha <1$.

ii)$\sum _{n\geq 0}{\frac {e^{-nx}}{n}}$ converge normalement sur tout intervalle de la forme [$a,+\infty [$ avec $a>0$.

iii)$\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n+(n(x-n))^{2}}}$ converge uniformément sur $\mathbb {R}$ mais ne converge pas normalement sur $\mathbb {R}$.

Continuité, dérivation et intégration

Les suites et séries de fonctions permettent de définir des fonctions par passage à la limite, il est alors légitime de se demander sous quelles conditions de régularité pour les fonctions $(f_{n})$ et pour quelle convergence la fonction limite obtenue est continue, dérivable,..

L'exemple i) montre clairement que la convergence ponctuelle de $(f_{n})$ qui sont continue ne garanti pas que la fonction limite f soit continue. On a la propriété suivante :

Proposition —  Si les $f_{n}$ sont continue et que $(f_{n})$ converge uniformément vers $f$ alors elle est continue.

On peut aussi se restreindre au cas où la suite $(f_{n})$ converge uniformément pour tout compact.

Théorème — 

• $f_{n}:I\rightarrow E$ sont $C^{1}$ sur I.
• La suite $(f_{n})$ converge simplement vers $f$.
• La suite $(f_{n}'$) converge uniformément sur tout compact vers $g$.

Alors on a :

• La suite $(f_{n})$ qui converge uniformément vers $f$ sur tout compact.
• La fonction $f$ est $C^{1}$ et on a $f'=g$.

Théorème —  Si les fonctions $f_{n}:[a,b]\rightarrow E$ sont continue et convergent uniformément pour tout compact de [a,b] vers $f$ alors :

$f$ est continue et $\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}f_{n}=\int _{a}^{b}f$.

On pourra généraliser ce dernier théorème à des intervalles de la forme ]a,b[ en ajoutant une hypothèse de domination voir Théorème de convergence dominée.

Exemples

i) $\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(sin(x))^{n}dx\rightarrow 0$

ii) La suite définit par $f_{n}(x)=(x^{2}+{\frac {1}{n^{2}}})^{\frac {1}{2}}$ de fonctions $C^{1}$ converge uniformément mais sa limite n'est pas dérivable.

iii) Les fonctions $f_{n}(x)={\frac {sin(nx)}{\sqrt[{2}]{n}}}$ sont $C^{1}$, la suite converge uniformément mais la suite des $(f_{n}')$ ne converge pas.

Suites et séries de fonctions holomorphes

On donnera ici les propriétés relatives au suites et séries de fonction holomorphes. On fixe D un ouvert de $\mathbb {C}$.

Théorème —  Si $(f_{n})$ est une suite de fonctions holomorphes qui converge uniformément sur D alors la fonction limite est holomorphe sur D.