Type (théorie des modèles)

En théorie des modèles, un type est un ensemble de formules à une même variable libre, consistant avec une théorie donnée, c'est-à-dire tel qu'il existe un modèle de la théorie en question dont un élément satisfait chacune des formules du type.

Définition

Soit T une théorie dans un langage L, M un modèle de T et A ⊆ M un ensemble de paramètres. On appelle type (partiel) sur A tout ensemble $\Sigma$ de formules en (au plus) une même variable libre à paramètres dans A consistant avec Diag(A) (le diagramme complet de A), i.e. tel qu'il existe une $L_{A}$-structure N et b ∈ N et pour toute formule $\phi$ de $\Sigma$, N ⊨ $\phi$(b).

Plus généralement, pour un entier naturel non nul n, on définit de manière similaire les n-types (ensembles consistants de formules à variables libres parmi n variables fixées). On peut également étendre cette définition aux ordinaux quelconques, on parle de $\alpha$-types.

Toujours dans le même cadre, on désigne par type complet sur A un type $\Sigma$ tel que pour toute $L_{A}$-formule $\phi$ à au plus une variable libre, on a $\Sigma \vdash \phi$ (i.e. toute réalisation de $\Sigma$ réalise également $\phi$) ou bien $\Sigma \vdash \lnot \phi$.

L'ensemble des n-types complets sur A est noté $S_{n}(A)$, si A = ∅ on note parfois $S_{n}(T)$.

Les conventions varient selon les auteurs, et certains nomment type partiel ce que nous appelons type et type nos types complets.

Exemples

Soit a ∈ M ⊨ T, A ⊆ M, on appelle type de a sur A l'ensemble des formules que M satisfait en a (cela comprend donc les formules closes). On voit sans peine qu'il s'agit d'un type complet, que l'on note $tp(a/A)$ ; la définition s'adapte pour des uples d'éléments de taille quelconque.

Topologie des espaces de types

Pour tout entier non nul n, on munit $S_{n}(A)$ d'une topologie : on la définit en prenant comme ouverts de base les parties $<\varphi >:=\{p\in S_{n}(A)\,;\,\varphi \in p\}$.

On remarque que cette topologie est totalement discontinue : tout ouvert de base <φ> est également un fermé puisque son complémentaire est <¬φ>. D'autre part, le théorème de compacité entraine la compacité de l'espace $S_{n}(A)$.

Applications

Les espaces de types permettent, dans un langage dénombrable, une caractérisation simple des théories $\aleph _{0}$-catégoriques (en), qui ont exactement un modèle dénombrable (à isomorphisme près) : un théorème de Ryll-Nardzewski (en) affirme qu'une théorie T complète, dénombrable dont les modèles sont infinis est $\aleph _{0}$-catégorique si et seulement si pour tout entier n, $S_{n}(T)$ est fini. Voir aussi Théorie k-catégorique.

Article connexe

Théorie stable (en)