Trou noir de Kerr

En astrophysique, un trou noir de Kerr, ainsi désigné en l'honneur du mathématicien néozélandais Roy Kerr, est un trou noir en rotation et dépourvu de charge électrique.

Plus précisément :

• de masse $M$ strictement positive : $M>0$ ;
• dont le moment cinétique $J$ n'est pas nul : $J\neq 0$, c'est-à-dire qui est en rotation axiale ;
• dont la charge électrique $Q$ est nulle $Q=0$ ;
• dont l'horizon des événements est en rotation rigide.

D'après la conjecture de calvitie, proposée par John Wheeler, il est un des quatre types théoriques de trous noirs.

Il est décrit, dans le cadre de la relativité générale, par la métrique de Kerr, une solution exacte de l'équation d'Einstein du champ de gravitation dans le vide, découverte par Roy Kerr en 1963 ; elle ne dépend que des deux paramètres $m$ et $a$, c'est-à-dire la masse $M=m$ et le moment cinétique $J=Mac$. L'espace-temps dont la métrique de Kerr décrit la géométrie a quatre dimensions ; il est vide mais courbe bien qu'asymptotiquement plat ; il est stationnaire et à symétrie axiale.

La métrique de Kerr ne décrit un trou noir qu'avec $m\geq {a}$. La métrique de Schwarzschild correspond au cas particulier $a=0$ de celle de Kerr. Le trou noir extrémal que celle-ci décrit correspond au cas limite $m=a$ ; la température de Hawking d'un tel trou noir est nulle. Avec $m<a$, la métrique de Kerr prédit l'existence de singularités nues, c'est-à-dire de singularités gravitationnelles qui, contrairement à celles des trous noirs sans rotation, ne seraient pas vraiment occultées par un horizon des évènements, hypothèse à laquelle s'oppose la conjecture de censure cosmique, proposée par Roger Penrose. La métrique de Minkowski correspond au cas particulier $m=0$ de celle de Kerr.

La métrique de Kerr ne peut décrire qu'un trou noir. Le théorème de Birkhoff ne lui est pas applicable et elle ne décrit pas le champ gravitationnel à l'extérieur d'une étoile en rotation, y compris pendant son effondrement gravitationnel.

Description

Fig. 1 — Horizon des évènements et ergosphère d'un trou noir en rotation. Les particules passant à l'intérieur de l'ergosphère peuvent, dans certaines conditions, gagner de l'énergie mécanique au détriment du trou noir puis s'en échapper. Ce dernier perd alors du moment angulaire.

Contrairement au cas du trou noir sans rotation et sans charge électrique (appelé trou noir de Schwarzschild), la singularité gravitationnelle d'un trou noir de Kerr n'est pas ponctuelle mais annulaire.

D'autre part, un trou noir de Kerr possède quatre régions : deux horizons des événements ($r_{\pm }$) : l'un extérieur ($r_{+}$), l'autre intérieur ($r_{-}$) ; et deux surfaces limites de stationnarité : l'une externe, l'autre interne avec sa singularité annulaire. La limite de stationnarité externe est l'ergosphère. Alors que l'horizon des événements est décrit par une sphère de rayon $r_{h}$, l'ergosphère est un ellipsoïde de révolution (oblate) dont le petit axe est aligné avec l'axe de rotation du trou noir et de même taille que $r_{h}$, et le plan équatorial est de diamètre $r_{\mathrm {stat} }$. De plus, $r_{\mathrm {stat} }\geq r_{h}$. (voir la Fig. 1).

Masse

La masse d'un trou noir de Kerr est donnée par :

$M^{2}=M_{\mathrm {irr} }^{2}+\left({\frac {cJ}{2GM_{\mathrm {irr} }}}\right)^{2}\geq {M_{\mathrm {irr} }^{2}}$,

où $M_{\mathrm {irr} }$ est la masse irréductible.

Pour $J\neq {0}$, $M>M_{\mathrm {irr} }$. Pour ${\frac {cJ}{M^{2}}}=0$, $M={\sqrt {2}}M_{\mathrm {irr} }$. Pour $J=0$, $M=M_{\mathrm {irr} }$.

Taux de rotation du trou noir et paramètre de spin

$\!\ a\equiv {\frac {cJ}{GM}}$, le rapport entre le moment cinétique et la masse, définit le taux de rotation du trou noir et a pour dimension une masse. $a$ ne peut être supérieur à ${\frac {GM}{c^{2}}}$ (voir espace-temps de Kerr rapide ci-dessous).

Le paramètre de spin $a_{*}={\frac {c^{2}a}{GM}}$ est un paramètre sans dimension tel que $-1\leq a_{*}\leq 1$, le signe représentant le sens de rotation.

Régions

La géométrie des régions peut se décrire en fonction des caractéristiques du trou noir (sa masse réduite $m={\frac {GM}{c^{2}}}$homogène à une distance et le paramètre de Kerr ou paramètre de spin $a_{*}={\frac {a}{m}}$), de la coordonnée radiale ${\bar {r}}={\frac {r}{m}}$ et de la colatitude $\theta$, avec $G$ constante gravitationnelle, $c$ vitesse de la lumière dans le vide et $M$ masse du trou noir.

Les quatre régions d'un trou noir de Kerr sont incluses les unes dans les autres, de la plus grande à la plus petite : l'ergosphère externe, l'horizon des évènements, l'horizon de Cauchy et l'ergosphère interne avec la singularité annulaire.

Dans le cas d'un trou noir de Kerr extrême $(|a_{*}|=1)$, les horizons des évènements et de Cauchy sont confondus. Pour un trou noir de Schwarzschild $(a_{*}=0)$, l'horizon des évènements et l'ergosphère externe sont confondus, et il n'y a pas d’horizon de Cauchy ni d’ergosphère interne.

Ergosphère externe

L'ergosphère externe est dite limite statique en ce sens que les particules qui la franchissent sont obligatoirement entraînées dans le sens de rotation du trou noir, autrement dit, elles y possèdent un moment angulaire de même signe que $J$. Cet entraînement confère du moment cinétique et de l'énergie mécanique à une particule qui pénètre dans l'ergosphère externe puis s'en échappe, de sorte que le trou noir voit son moment cinétique diminuer. C'est le processus de Penrose, qui permet de pomper de l'énergie à un trou noir en rotation.

L'ergosphère externe est décrite par l'équation polaire :

$r_{ergoext}=m(1+{\sqrt {1-a_{*}^{2}\cos ^{2}\theta }})$

Il s'agit d'un ellipsoïde de révolution de petit axe $r_{h}$ et de grand axe $r_{\mathrm {stat} }=2m$.

Horizon des évènements

La présence de l'horizon des évènements ne dépend pas de la rotation du trou noir, c'est une caractéristique commune à tous les types de trous noirs qui représente finalement l'essence même de ce qu'est un trou noir. Les particules qui franchissent l'horizon des évènements tombent définitivement dans le trou noir sans possibilité de s'en échapper.

Dans le cas d'un trou noir de Kerr, le rayon de l'horizon des évènements est appelé le rayon de Kerr et s'écrit :

$r_{+}=r_{h}=m(1+{\sqrt {1-a_{*}^{2}}})$,

La valeur du rayon de l'horizon du trou noir de Kerr est donc comprise entre la moitié du rayon de Schwarzschild $r_{s}=2m$ (quand le moment angulaire est maximal, $Jc=G.M^{2}$soit $a_{*}=1$) et ledit rayon (moment angulaire nul, $J=0$ soit $a_{*}=0$, cas du trou noir de Schwarzschild).

Horizon de Cauchy

Le rayon de l'horizon de Cauchy s'écrit :

$r_{-}=r_{Cauchy}=m(1-{\sqrt {1-a_{*}^{2}}})$.

Ergosphère interne

Le rayon de l'ergosphère interne s'écrit :

$r_{ergoint}=m(1-{\sqrt {1-a_{*}^{2}\cos ^{2}\theta }})$.

Singularité annulaire

Un trou noir de Kerr est associé à une singularité dite singularité de Kerr dont la particularité est d'être, d'une part, annulaire (sa topologie est celle d'un anneau de rayon $|a|$ situé dans le plan équatorial et bordant l'ergosphère interne) et, d'autre part, du genre temps.

Métrique de Kerr

Expression en coordonnées de Boyer-Lindquist

La métrique de Kerr s'écrit généralement dans les coordonnées de Boyer-Lindquist.

Dans ce système de coordonnées, le métrique peut s'écrire comme suit :

$\mathrm {d} s^{2}=-\alpha ^{2}\mathrm {d} t^{2}+{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}\mathrm {d} r^{2}+\rho ^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+\varpi \left(\mathrm {d} \phi -\omega \mathrm {d} t\right)^{2}$,

avec :

$\Delta =r^{2}+a^{2}-2Mr,\quad \rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta ,\quad \Sigma ^{2}=\left(r^{2}+a^{2}\right)^{2}-a^{2}\Delta \sin ^{2}\theta$,

et :

$\alpha ^{2}={\frac {\rho ^{2}}{\Sigma ^{2}}}\Delta ,\quad \varpi ^{2}={\frac {\Sigma ^{2}}{\rho ^{2}}}\sin ^{2}\theta ,\quad \omega ={\frac {2aMr}{\Sigma ^{2}}}$.

La représentation tensorielle des coefficients de la métrique est la suivante :

$g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-\alpha ^{2}+\omega ^{2}\varpi ^{2}&0&0&-\omega \varpi ^{2}\\0&{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}&0&0\\0&0&\rho ^{2}&0\\-\omega \varpi ^{2}&0&0&\varpi ^{2}\end{pmatrix}}$

Les coefficients de la métrique sont :

$g_{rr}={\frac {\rho ^{2}}{\Delta }},\quad g_{\theta \theta }=\rho ^{2},\quad g_{\phi \phi }=\varpi ^{2}$.

Dans ce même système de coordonnées, elle peut aussi s'écrire comme suit :

$\mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {2GMr}{c^{2}\rho ^{2}}}\right)c^{2}\mathrm {d} t^{2}-{\frac {4GMar\sin ^{2}\theta }{c^{2}\rho ^{2}}}c\mathrm {d} t\mathrm {d} \phi +{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}\mathrm {d} r^{2}+\rho ^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {2GMa^{2}r\sin ^{2}\theta }{c^{2}\rho ^{2}}}\right)\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \phi ^{2}$,

avec :

$\!\ \Delta \equiv r^{2}-{\frac {2GM}{c^{2}}}r+a^{2}$,

$\!\ \rho ^{2}\equiv r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta$.

En posant $G=1$ et $c=1$, elle est donnée par :

$\mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {2Mr}{\rho ^{2}}}\right)\mathrm {d} t^{2}-{\frac {4aMr\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\mathrm {d} t\mathrm {d} \phi +{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}\mathrm {d} r^{2}$ $+\rho ^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {2a^{2}Mr\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\right)\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \phi ^{2}$,

avec :

$\!\ \Delta \equiv r^{2}-2Mr+a^{2}$,

$\!\ \rho ^{2}\equiv r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta$,

$t\in \mathbb {R}$ est la coordonnée temporelle, $r\in \mathbb {R} ^{+}$ est la coordonnée radiale, $\theta \in \left[0,\pi \right]$ est la colatitude, $\phi \in \left[0,2\pi \right]$ est la longitude.
Les points $\theta =0$ et $\theta =\pi$ sont les pôles et les points $\theta ={\frac {\pi }{2}}$ forment l'équateur. La droite joignant les pôles est l'axe de rotation du trou noir.
Le système de coordonnées est indéfini aux pôles. En effet, lorsque $t=cste$ et $r=cste$, le coefficient $g_{\phi \phi }$ s'annule pour $\theta =0$ et $\theta =\pi$.
De plus, les coordonnées sont invalides lorsque $\Delta =0$ où le coefficient g_$r$$r$ diverge (singularité dite de coordonnées) ou lorsque $\rho ^{2}=0$ où les coefficients $g_{00}$, $g_{0\phi }$, $g_{\phi 0}$ et $g_{\phi \phi }$ divergent (singularité annulaire nue).

Les coefficients de la métrique (exprimée dans les coordonnées de Boyer-Lindquist) sont indépendants de $t$ et $\phi$. Par conséquent, la géométrie de l'espace-temps est indépendante du temps (c'est-à-dire stationnaire) et à symétrie axiale.
Autrement dit, la métrique de Kerr possède les vecteurs de Killing : $\xi _{\left(t\right)}\equiv \left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)_{r,\theta ,\phi }$ $\xi _{\left(\phi \right)}\equiv \left({\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)_{t,r,\theta }$

Les composantes de la métrique de Kerr exprimées avec les coordonnées de Boyer-Lindquist sont remarquables car elles sont égales au produit scalaire des coordonnées indépendantes :

$\xi _{\left(t\right)}.\xi _{\left(t\right)}=g_{tt}$

$\xi _{\left(t\right)}.\xi _{\left(\phi \right)}=g_{t\phi }$

$\xi _{\left(\phi \right)}.\xi _{\left(\phi \right)}=g_{\phi \phi }$

Notons que si le moment angulaire par unité de masse est nul, $a=0$ (donc $J=0$), on obtient la métrique de Schwarzschild. Si on ajoute la contrainte $M=0$, on obtient l'espace de Minkowski.

Expression en coordonnées de Kerr

Il arrive que la métrique soit exprimée dans les coordonnées de Kerr où ${\tilde {\phi }}$ est la coordonnée de rotation du trou noir :

$\mathrm {d} s^{2}=-\left(1-{\frac {2Mr}{\rho ^{2}}}\right)\mathrm {d} {\tilde {V}}^{2}-{\frac {4aMr\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\mathrm {d} {\tilde {\phi }}\mathrm {d} {\tilde {V}}$ $+\rho ^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {2a^{2}Mr\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\right)\sin ^{2}\theta \mathrm {d} {\tilde {\phi }}^{2}+2\mathrm {d} r\mathrm {d} {\tilde {V}}-2a\sin ^{2}\theta \mathrm {d} {\tilde {\theta }}\mathrm {d} r$

Dans ce cas, les coefficients sont indépendants de ${\tilde {V}}$ et ${\tilde {\phi }}$.

Les relations qui relient les deux systèmes de coordonnées sont :

$\mathrm {d} {\tilde {V}}=\mathrm {d} t+{\frac {\left(r^{2}+a^{2}\right)}{\Delta }}\mathrm {d} r$,

$\mathrm {d} {\tilde {\phi }}=\mathrm {d} {\tilde {\theta }}+{\frac {a}{\Delta }}\mathrm {d} r$.

Espaces-temps de Kerr

Il existe trois types différents d'espace-temps de Kerr suivant l'importance relative de $M$ et $a$, autrement dit, suivant la vitesse du moment angulaire $J$.

L'espace-temps de Kerr lent

L'espace-temps de Kerr est dit « lent » (slow Kerr space-time) pour $0<\left|a\right|<M$. La rotation est lente ($\left|J\right|<1$).

$\Delta$ possède alors deux racines réelles.

$r_{-}=M-{\sqrt {M^{2}-a^{2}}}$
$r_{+}=M+{\sqrt {M^{2}-a^{2}}}$

C'est la version de l'espace-temps de Kerr la plus souvent étudiée. L'espace-temps possède deux horizons, les sphères de rayon $r=r_{-}$ et $r=r_{+}$ disposées symétriquement à la sphère de rayon $r=M$. Le lieu géométrique où $r=r_{+}$ est appelé indifféremment l'horizon externe ou l'horizon des événements. Concernant $r=r_{-}$, on le nomme horizon interne ou horizon de Cauchy. Les deux horizons séparent l'espace-temps en trois parties distinctes nommées blocs de Boyer-Lindquist (Boyer-Lindquist Blocks) :

Bloc 1

$\left\{r>r_{+}\right\}$

C'est la région extérieure au trou noir. L'ergosphère appartient à ce bloc. La limite statique est l'hypersurface définie par la racine supérieure de l'équation : $\rho ^{2}=2Mr$, où le coefficient g_$t$$t$ s'annule. Si on définit l'ergosphère par la coordonnée radiale $r$ :

$E=\left\{r_{+}<r<M+{\sqrt {M^{2}-a^{2}cos^{2}\theta }}\right\}$.

Cette équation permet de retrouver quelques résultats prévisibles :
La limite statique coïncide avec l'horizon des évènements aux pôles.
L'extension radiale de l'ergosphère est maximale à l'équateur du trou noir (Voir Fig. 1).
La limite statique se rapproche de plus en plus de l'horizon des évènements à mesure que le moment angulaire par unité de masse diminue.
Si un observateur franchit l'ergosphère, il lui est physiquement impossible de rester au repos par rapport à un objet extérieur au trou noir. De plus, tous les observateurs possédant une coordonnée radiale et une colatitude fixes se situant dans cette région de l'espace-temps de Kerr doivent décrire des orbites dans le même sens de rotation que le trou noir.

Si $r=cste$ et $\theta =cste$, ${\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}>{\frac {a\sin \theta -{\sqrt {\Delta }}}{\left(r^{2}+a^{2}\right)\sin \theta -a{\sqrt {\Delta }}\sin ^{2}\theta }}\geq 0$ lorsque $r\in E$ et $a>0$.

Bloc 2

$\left\{r_{-}<r<r_{+}\right\}$

C'est la région située sous l'horizon externe. De la même manière que pour l'horizon de Schwarzschild caractérisant un trou noir sans rotation, aucun objet ne peut émerger de l'horizon des évènements.

Bloc 3

$\left\{r<r_{-}\right\}$

C'est la région de l'espace-temps située sous l'horizon interne contenant la singularité annulaire source de la gravité.

L'espace-temps de Kerr extrême

L'espace-temps de Kerr est dit « extrême » (extreme Kerr space-time) pour $\left|a\right|=M$. La rotation est critique ($\left|J\right|=1$).

$M$ est la racine double de $\Delta$ et la sphère de rayon $r=M$ est l'horizon unique. Si on reprend les formules précédentes, on trouve que l'ergosphère est la région :

$E=\left\{r_{-}=r_{+}=M<r<M\left(1+\sin \theta \right)\right\}$.

La métrique décrit un objet en rotation qui cesse d'être un trou noir, mais n'atteint pas la vitesse de rupture. La vitesse de rotation à la limite externe est égale à la vitesse de la lumière. Comme l'explique Jean-Pierre Luminet : "En langage newtonien, on dirait qu'à la surface d'un trou noir maximal les forces de répulsion centrifuges compensent exactement les forces d'attraction gravitationnelles."

L'espace-temps de Kerr rapide

L'espace-temps de Kerr est dit « rapide » (fast Kerr space-time) pour $\left|a\right|>M$. La rotation est rapide ($\left|J\right|>1$).

$\Delta$ ne possède aucune racine réelle et l'espace-temps n'a pas d'horizon. Dans ce cas de figure, il n'y a pas de trou noir, et on parle alors de singularité nue. L'intérêt de cette solution particulière est plutôt limité puisque Werner Israel a démontré dans les années 1980 que toute interaction d'un trou noir tournant à sa fréquence maximale ($\left|J\right|=1$) tend à ralentir son moment angulaire. Il semblerait donc qu'il n'existe aucun moyen physique de "construire" un espace-temps de Kerr rapide. C'est l'idée formulée initialement par Roger Penrose appelée conjecture de la "Censure cosmique".

Mesure expérimentale du spin d'un trou noir

$R_{ISCO}$ varie en fonction de la vitesse (et du sens) de rotation du trou noir, ce qui provoque des spectres bien différenciés, caractéristiques de ces dernières orbites circulaires stables.

Depuis 2006, il est possible de mesurer expérimentalement le paramètre de spin $a_{*}$ de certains trous noirs. Estimer le spin d'un trou noir est beaucoup plus difficile que d'estimer sa masse, car l'effet de la rotation du trou noir ne peut être mesuré que par ses effets sur de la matière observable à proximité du trou noir, comme un disque d'accrétion par exemple.

L'estimation du paramètre $a_{*}$ est réalisée en mesurant le rayon de la dernière orbite circulaire stable ($R_{ISCO}$ pour Innermost Stable Circular Orbit). La formule théorique donnant ce rayon, pour une masse du trou noir donnée, ne dépend que de $a_{*}$ et la relation entre les deux est directe. $R_{ISCO}$ est lui-même déterminé en mesurant le spectre des rayons X émis dans le disque d'accrétion par des binaires X, des étoiles orbitant autour d'un trou noir, ainsi que par la luminosité de ces émissions. Ce spectre est comparé à celui donné par un modèle théorique d'accrétion (Idealized Thin Disk Model), et les paramètres dont $R_{ISCO}$ sont ajustés pour réaliser la meilleure corrélation entre le spectre et la luminosité mesurés, et le modèle. Pour une masse de trou noir d'une dizaine de masses solaires, $R_{ISCO}$ peut varier entre 15 km pour $|a_{*}|=1$ et 90 km pour $a_{*}=0$, variabilité suffisamment grande pour influencer notablement le spectre.

Certains trous noirs semblent en rotation extrêmement rapide ($a_{*}$ proche de 1), comme GRS 1915+105.

Paramètre de spin de quelques trous noirs

Binaire X	Masse du trou noir ($M_{\odot }$)	$a_{\ast }$
4U 1543-47	9.4 ± 1	0.7 - 0.85
GRO J1655-40	6.3 ± 0.27	0.65 - 0.8
GRS 1915+105	14 ± 4.4	0.98 - 1

Voir aussi

Bibliographie

 : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

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• [Thorne et al. 1986] (en) Kip S. Thorne, Richard H. Price, Douglas A. Macdonald, Wai-Mo Suen et Xiao-He Zhang, « Rapidly rotating holes », dans Kip S. Thorne, Richard H. Price et Douglas A. MacDonald (éd. et préf.), Black holes : the membrane paradigm [« Trous noirs : le paradigme de la membrane »], New Haven, YUP, hors coll., septembre 1986, 1^re éd., XII-367 p., 16,5 × 24,1 cm (ISBN 0-300-03769-4 et 0-300-03770-8, EAN 9780300037692, OCLC 13759977, Bibcode 1986bhmp.book.....T, SUDOC 030353556, lire en ligne), chap. III, p. 67-120.
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Articles connexes

• Relativité générale
• Tenseur métrique
  • Métrique de Schwarzschild
  • Métrique de Kerr-Newman
  • Métrique Reissner-Nordström
• Trou noir
  • Trou noir de Schwarzschild
  • Trou noir de Reissner-Nordström
  • Trou noir de Kerr-Newman
  • Horizon des évènements
  • Ergosphère

Liens externes

• [1]
• (en) Kerr Black Hole sur le site scienceworld.wolfram.com
• (en) Kerr Metric sur le site scienceworld.wolfram.com