Triangle de Kobon

problème mathématique

Le problème des triangles de Kobon est un problème non résolu de géométrie combinatoire qui fut énoncé pour la première fois par le mathématicien Kobon Fujimura[1]. Le problème pose la question suivante : quel est le nombre maximal de triangles distincts pouvant être construits à l'aide d'un nombre donné de segments de droite ?

, et .

Le problème fut popularisé par Martin Gardner en 1983[2].

Majorant modifier

Saburo Tamura a montré[3] que pour   segments de droite, le nombre maximal de triangles qu'il est possible de construire, noté  , est inférieur ou égal à   (  désigne la fonction partie entière).

En 2007, Johannes Bader et Gilles Clément ont affiné cette borne[4] : si   est congru à 0 ou 2 modulo 6 alors   est même strictement inférieur à  .

Solutions connues modifier

Des solutions maximales, égales au majorant, sont connues pour 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15 et 17 droites. Dans les autres cas, le nombre maximal de triangles n'est pas connu, même si l'on connait des configurations qui se rapprochent de ce majorant. Pour 10 et 11 droites, la meilleure solution connue n'est que d'un triangle de moins que la borne donnée par Tamura. Pour 12, 16 et 18 droites, deux triangles de moins.

Le tableau suivant résume, pour les premières valeurs du nombre de segments, la valeur du majorant ainsi que celle de la meilleure solution connue (indiquée en gras lorsqu'il s'agit d'une solution égale au majorant, donc réellement maximale).

Nombre de droites 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Majorant 1 2 5 7 11 15 21 26 33 40 47 55 65 74 85 95 107 119 133
Meilleure solution connue 0 0 1 2 5 7 11 15 21 25[5] 32[6] 38[7] 47[7] 53 65[8] 72 85[9] 93 104 115 130

C'est la suite A006066 de l'OEIS.

Références modifier

  1. (en) Kobon Fujimura, The Tokyo Puzzles, Scribner, (ISBN 0-684-15536-2).
  2. (en) Martin Gardner, Wheels, Life, and Other Mathematical Amusements, Freeman, , 261 p. (ISBN 978-0-7167-1589-4), p. 170-171 et 178.
  3. (en) David Eppstein, « The Geometry Junkyard — Triangles and Simplices : Kabon [sic] Triangles », sur Donald Bren School of Information and Computer Sciences.
  4. (en) Johannes Bader, « Kobon Triangles - Proof for Tighter Lower Bound », sur ETHZ, .
  5. (en) Branko Grünbaum, Convex Polytopes, Springer, coll. « GTM », (ISBN 978-0-38740409-7).
  6. (ja) S. Honma, « 三角形の最大数 » [« nombre maximal de triangles »].
  7. a et b (ru) Viatcheslav Kabanovitch, « Тре угольника Кобона » [« Triangles de Kobon »], Шарада, vol. 6,‎ , p. 1-2 (lire en ligne) (charade, publication du club de puzzle russe Диоген).
  8. (en) Eric W. Weisstein, « Kobon Triangle », sur MathWorld, solution communiquée par Toshitaka Suzuki en 2005.
  9. (en) Johannes Bader, « Kobon Triangles - Perfect Solution with 17 lines », sur ETHZ, .

Voir aussi modifier

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Liens externes modifier

(en) Ed Pegg Jr. (en), « Kobon Triangles », sur mathpuzzle.com,