Transformation du boustrophédon

La transformation du boustrophédon est une méthode mathématique permettant de retrouver les coefficients de la série de Taylor relatifs au calcul des tangentes et des sécantes. Son nom fait référence au boustrophédon, une écriture dont le sens de lecture alterne d'une ligne à l'autre.

Calcul de la tangente

Schéma de principe des additions

La transformation du boustrophédon permet de calculer le développement limité de la fonction tangente en 0. Chaque ligne s'écrit dans le sens contraire de la précédente, en commençant par zéro ; et chaque terme se calcule en effectuant la somme du terme écrit précédemment et du terme écrit au-dessus. En partant de 1, la séquence devient :

								1
						→	0		1
						1		1		0	←
				→	0		1		2		2
				5		5		4		2		0	←
		→	0		5		10		14		16		16
		61		61		56		46		32		16		0		←
→	0		61		122		178		224		256		272		272, etc.

La suite des nombres formant le côté droit de ce triangle (sans le premier chiffre), soit 1, 0, 2, 0, 16, 0, 272, etc., appelée suite des nombres tangents, donne la suite des coefficients du développement limité de la fonction tangente en 0 (en commençant par celui de $x^{1}$) :

$\tan(x)=1\times {\frac {x^{1}}{1!}}+0\times {\frac {x^{2}}{2!}}+2\times {\frac {x^{3}}{3!}}+0\times {\frac {x^{4}}{4!}}+16\times {\frac {x^{5}}{5!}}+0\times {\frac {x^{6}}{6!}}+272\times {\frac {x^{7}}{7!}}+o(x^{7})$

ce qui donne, après simplification :

$\tan(x)=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+o(x^{7})$.

Calcul de la sécante

La suite formant le côté gauche (avec le premier chiffre), soit 1, 0, 1, 0, 5, 0, 61, 0, etc., donne la suite des coefficients du développement limité de la fonction sécante en 0 (en commençant par celui de $x^{0}$, c'est-à-dire le terme constant).

$\sec(x)=1+0\times {\frac {x^{1}}{1!}}+1\times {\frac {x^{2}}{2!}}+0\times {\frac {x^{3}}{3!}}+5\times {\frac {x^{4}}{4!}}+0\times {\frac {x^{5}}{5!}}+61\times {\frac {x^{6}}{6!}}+0\times {\frac {x^{7}}{7!}}+o(x^{7})$