Topologie arithmétique
En mathématiques, la topologie arithmétique est un domaine des mathématiques liant la théorie algébrique des nombres et la topologie. Elle établit en particulier une analogie entre les corps de nombres et les 3-variétés fermées et orientables.
Voici quelques-unes des analogies entre corps de nombres et 3-variétés[1] :
- un corps de nombres correspond à une 3-variété fermée et orientable ;
- les idéaux dans l'anneau des entiers correspondent aux entrelacs et les idéaux premiers correspondent aux nœuds ;
- le corps Q des nombres rationnels correspond à la 3-sphère.
En développant les deux derniers exemples, il existe une analogie entre nœuds et nombres premiers dans laquelle on considère les « entrelacs » entre nombres premiers. Les triplets de nombres premiers (13, 61, 937) sont « entrelacés » modulo 2 (de symbole de Rédei −1) mais sont « non entrelacés par paire » modulo 2 (les symboles Legendre valent 1). Par conséquent, ces nombres premiers sont dit « triplet borroméen modulo 2 ».
Histoire modifier
Dans les années 1960, des interprétations topologiques de la théorie des champs de classes ont été données par John Tate[2] en terme de cohomologie de Galois, ainsi que par Michael Artin et Jean-Louis Verdier en terme de cohomologie étale. Puis David Mumford (et indépendamment Yuri Manin) ont proposé une analogie entre les idéaux premiers et les nœuds ensuite explorée par Barry Mazur[3],[4]. Dans les années 1990, Reznikov[5] et Kapranov[6] donnent le terme de topologie arithmétique pour ce domaine d'étude.
Articles connexes modifier
Références modifier
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Arithmetic topology » (voir la liste des auteurs).
- Adam S Sikora, « Analogies between group actions on 3-manifolds and number fields », Commentarii Mathematici Helvetici, vol. 78, no 4, , p. 832-844 (DOI 10.1007/S00014-003-0781-X).
- J. Tate, Duality theorems in Galois cohomology over number fields, (Proc. Intern. Cong. Stockholm, 1962, p. 288-295).
- Remarks on the Alexander Polynomial, Barry Mazur, vers 1964.
- Barry Mazur, « Notes on étale cohomology of number fields », Annales scientifiques de l'École normale supérieure, 4e série, vol. 6, no 4, , p. 521-552 (lire en ligne).
- A. Reznikov, Three-manifolds class field theory (Homology of coverings for a nonvirtually b1-positive manifold), Sel. math. New ser. 3, (1997), 361–399.
- M. Kapranov, Analogies between the Langlands correspondence and topological quantum field theory, Progress in Math., 131, Birkhäuser, (1995), 119–151.
Lectures complémentaires modifier
- Masanori Morishita (2011), Knots and Primes, Springer (ISBN 978-1-4471-2157-2)
- Masanori Morishita (2009), Analogies Between Knots And Primes, 3-Manifolds And Number Rings
- Christopher Deninger (2002), A note on arithmetic topology and dynamical systems
- Adam S. Sikora (2001), Analogies between group actions on 3-manifolds and number fields
- Curtis T. McMullen (2003), From dynamics on surfaces to rational points on curves
- Chao Li and Charmaine Sia (2012), Knots and Primes
