Pour trouver la capacité d'un tonneau , ou jaugeage , beaucoup de formules ont été proposées. Celles-ci sont en général approchées, une formule exacte nécessitant de connaître la forme précise du tonneau.
Quelques formules historiques
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La forme générale des tonneaux consiste en une surface de révolution engendrée par une portion de courbe et terminée par deux plans parallèles équidistants de l'équateur. Le volume se calcule de la façon suivante :
V
=
∫
S
d
x
{\displaystyle V=\int S\,\mathrm {d} x}
Où
S
{\displaystyle S}
y
{\displaystyle y}
V
=
2
π
∫
0
L
2
y
2
d
x
{\displaystyle V=2\pi \int _{0}^{\frac {L}{2}}y^{2}\,\mathrm {d} x}
Les formes les plus usuelles sont données par les exemples qui suivent.
On choisit l'axe du tonneau comme axe de la parabole. L'équation de la parabole est de la forme
y
=
a
x
2
+
b
{\displaystyle y=ax^{2}+b}
a
=
2
(
d
−
D
)
L
2
{\displaystyle a={\frac {2(d-D)}{L^{2}}}}
b
=
D
2
{\displaystyle b={\frac {D}{2}}}
V
=
π
L
60
(
8
D
2
+
3
d
2
+
4
D
d
)
{\displaystyle V={\frac {\pi L}{60}}(8D^{2}+3d^{2}+4Dd)}
Elle a pour équation
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
a
=
L
2
1
−
(
d
D
)
2
{\displaystyle a={\frac {L}{2{\sqrt {1-\left({\frac {d}{D}}\right)^{2}}}}}}
b
=
D
2
{\displaystyle b={\frac {D}{2}}}
V
=
2
π
b
2
∫
0
L
2
(
1
−
x
2
a
2
)
d
x
{\displaystyle V=2\pi b^{2}\int _{0}^{\frac {L}{2}}\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\right)\mathrm {d} x}
V
=
π
L
12
(
2
D
2
+
d
2
)
{\displaystyle V={\frac {\pi L}{12}}(2D^{2}+d^{2})}
On retrouve la formule d'Oughtred.
C'est la courbe qui vient immédiatement à l'esprit, car elle est facile à tracer au compas.
L'équation s'exprime par :
x
2
+
(
y
−
b
)
2
=
R
2
{\displaystyle x^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}}
R et passant par A et B), avec
b
=
D
2
−
d
2
−
L
2
4
(
D
−
d
)
{\displaystyle b={\frac {D^{2}-d^{2}-L^{2}}{4(D-d)}}}
R
=
(
D
−
d
)
2
+
L
2
4
(
D
−
d
)
{\displaystyle R={\frac {(D-d)^{2}+L^{2}}{4(D-d)}}}
V
=
2
π
∫
0
L
2
(
b
+
R
2
−
x
2
)
2
d
x
{\displaystyle V=2\pi \int _{0}^{\frac {L}{2}}(b+{\sqrt {R^{2}-x^{2}}})^{2}\mathrm {d} x}
V
=
π
(
L
(
b
2
+
R
2
−
L
2
12
)
+
2
b
R
2
(
arcsin
L
2
R
+
L
2
R
1
−
(
L
2
R
)
2
)
)
{\displaystyle V=\pi \left(L\left(b^{2}+R^{2}-{\frac {L^{2}}{12}}\right)+2bR^{2}\left(\arcsin {\frac {L}{2R}}+{\frac {L}{2R}}{\sqrt {1-\left({\frac {L}{2R}}\right)^{2}}}\right)\right)}
Noter que si l'on réalise un développement limité à l'ordre 2 de cette formule suivant
ε
=
D
−
d
L
{\displaystyle \varepsilon ={\frac {D-d}{L}}}
On prend
y
=
a
cos
(
b
x
)
{\displaystyle y=a\cos(bx)}
a
=
D
2
{\displaystyle a={\frac {D}{2}}}
b
=
2
L
arccos
d
D
{\displaystyle b={\frac {2}{L}}\arccos {\frac {d}{D}}}
V
=
2
π
∫
0
L
2
D
2
4
cos
2
(
b
x
)
d
x
{\displaystyle V=2\pi \int _{0}^{\frac {L}{2}}{\frac {D^{2}}{4}}\cos ^{2}(bx)\mathrm {d} x}
V
=
π
D
2
L
8
(
1
+
d
D
1
−
(
d
D
)
2
arccos
d
D
)
{\displaystyle V={\frac {\pi D^{2}L}{8}}\left(1+{\frac {{\frac {d}{D}}{\sqrt {1-\left({\frac {d}{D}}\right)^{2}}}}{\arccos {\frac {d}{D}}}}\right)}
Comparaison des formules
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Application numérique d'un cas réel. Les cotes sont en décimètres pour des résultats directs en litres.
d = 6,06 dm (petit diamètre)D = 7,01 dm (diamètre du bouge)L = 8,05 dm (longueur)c = 7,68 dm (cas de la formule des Douanes)b = -13,79 dm (cas du cercle), pour mémoire , car b dépend de d , D et L R = 17,29 dm (cas du cercle), pour mémoire , car R dépend de d , D et L
Formule
Volume
Kepler (troncs de cônes)
270,48
Oughtred (ellipse)
284,52
Dez
279,91
Douanes
283,12
Pluviôse an VII
283,25
Parabole
283,76
Cercle
283,90
Cosinus
283,51
Volume d'un tonneau de section elliptique
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Soient A et B les diamètres de la section elliptique du bouge, et soient a et b les diamètres des fonds.
Si on a des paraboles comme génératrices, on a les formules :
Dans le plan xOy :
y
=
2
(
a
−
A
)
L
2
x
2
+
A
2
{\displaystyle y={\frac {2(a-A)}{L^{2}}}x^{2}+{\frac {A}{2}}}
Dans le plan xOz :
z
=
2
(
b
−
B
)
L
2
x
2
+
B
2
{\displaystyle z={\frac {2(b-B)}{L^{2}}}x^{2}+{\frac {B}{2}}}
V
=
2
∫
0
L
2
π
y
z
d
x
{\displaystyle V=2\int _{0}^{\frac {L}{2}}\pi yz\mathrm {d} x}
V
=
π
L
60
(
3
a
b
+
2
a
B
+
2
A
b
+
8
A
B
)
{\displaystyle V={\frac {\pi L}{60}}(3ab+2aB+2Ab+8AB)}
Volume partiel en fonction de la hauteur de liquide
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La génératrice est la parabole d'équation :
y
=
2
(
d
−
D
)
L
2
x
2
+
D
2
{\displaystyle y={\frac {2(d-D)}{L^{2}}}x^{2}+{\frac {D}{2}}}
Soit
h
{\displaystyle h}
Soit
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
2
{\displaystyle x_{2}}
h
{\displaystyle h}
x
1
=
h
L
2
2
(
D
−
d
)
{\displaystyle x_{1}={\sqrt {\frac {hL^{2}}{2(D-d)}}}}
x
2
=
(
D
−
h
)
L
2
2
(
D
−
d
)
{\displaystyle x_{2}={\sqrt {\frac {(D-h)L^{2}}{2(D-d)}}}}
V
=
∫
S
d
x
{\displaystyle V=\int S\mathrm {d} x}
Où
S
{\displaystyle S}
y
{\displaystyle y}
y
−
D
2
+
h
{\displaystyle y-{\frac {D}{2}}+h}
S
=
y
2
(
arccos
D
−
2
h
2
y
−
D
−
2
h
2
y
1
−
(
D
−
2
h
2
y
)
2
)
{\displaystyle S=y^{2}\left(\arccos {\frac {D-2h}{2y}}-{\frac {D-2h}{2y}}{\sqrt {1-\left({\frac {D-2h}{2y}}\right)^{2}}}\right)}
Si
h
≤
D
−
d
2
{\displaystyle h\leq {\frac {D-d}{2}}}
V
=
∫
0
x
1
2
S
d
x
{\displaystyle V=\int _{0}^{x_{1}}2S\mathrm {d} x}
Si
D
−
d
2
≤
h
≤
D
+
d
2
{\displaystyle {\frac {D-d}{2}}\leq h\leq {\frac {D+d}{2}}}
V
=
∫
0
L
2
2
S
d
x
{\displaystyle V=\int _{0}^{\frac {L}{2}}2S\mathrm {d} x}
Si
h
≥
D
+
d
2
{\displaystyle h\geq {\frac {D+d}{2}}}
V
=
∫
0
x
2
2
S
d
x
+
∫
x
2
L
2
2
π
y
2
d
x
{\displaystyle V=\int _{0}^{x_{2}}2S\mathrm {d} x+\int _{x_{2}}^{\frac {L}{2}}2\pi y^{2}\mathrm {d} x}
V
=
∫
L
2
−
h
L
2
π
y
2
d
x
{\displaystyle V=\int _{{\frac {L}{2}}-h}^{\frac {L}{2}}\pi y^{2}\mathrm {d} x}
V
=
π
[
4
(
d
−
D
)
2
5
L
4
(
(
L
2
)
5
−
(
L
2
−
h
)
5
)
+
2
D
(
d
−
D
)
3
L
2
(
(
L
2
)
3
−
(
L
2
−
h
)
3
)
+
h
(
D
2
)
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}V&=\pi {\Biggl [}{\frac {4(d-D)^{2}}{5L^{4}}}\left(\left({\frac {L}{2}}\right)^{5}-\left({\frac {L}{2}}-h\right)^{5}\right)\\\ &+{\frac {2D(d-D)}{3L^{2}}}\left(\left({\frac {L}{2}}\right)^{3}-\left({\frac {L}{2}}-h\right)^{3}\right)+h\left({\frac {D}{2}}\right)^{2}{\Biggr ]}\end{aligned}}}
On considère ici aussi la parabole comme génératrice. Soit
S
1
{\displaystyle S_{1}}
S
1
=
2
∫
0
L
2
2
π
y
d
s
{\displaystyle S_{1}=2\int _{0}^{\frac {L}{2}}2\pi y\mathrm {d} s}
où
d
s
{\displaystyle \mathrm {d} s}
d
s
=
1
+
y
′
2
d
x
{\displaystyle \mathrm {d} s={\sqrt {1+y'^{2}}}\mathrm {d} x}
S
1
=
4
π
∫
0
L
2
(
a
x
2
+
b
)
1
+
4
a
2
x
2
d
x
{\displaystyle S_{1}=4\pi \int _{0}^{\frac {L}{2}}(ax^{2}+b){\sqrt {1+4a^{2}x^{2}}}\mathrm {d} x}
L'intégration se fait par le changement de variable :
2
a
x
=
sinh
t
{\displaystyle 2ax=\sinh t}
On arrive à :
S
1
=
π
L
4
[
4
(
d
−
D
)
2
L
2
+
1
(
d
+
D
+
L
2
8
(
d
−
D
)
)
+
L
d
−
D
(
D
−
L
2
16
(
d
−
D
)
)
argsinh
2
(
d
−
D
)
L
]
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{1}&={\frac {\pi L}{4}}{\Biggl [}{\sqrt {{\frac {4(d-D)^{2}}{L^{2}}}+1}}\left(d+D+{\frac {L^{2}}{8(d-D)}}\right)\\\ &+{\frac {L}{d-D}}\left(D-{\frac {L^{2}}{16(d-D)}}\right)\operatorname {argsinh} {\frac {2(d-D)}{L}}{\Biggr ]}\end{aligned}}}
Puis on ajoute les deux fonds :
S
2
=
π
d
2
2
{\displaystyle S_{2}={\frac {\pi d^{2}}{2}}}
S
=
S
1
+
S
2
{\displaystyle S=S_{1}+S_{2}}
Surfaces partielles
modifier
Surface du tonneau en contact avec le liquide
modifier
Si
h
≤
D
−
d
2
{\displaystyle h\leq {\frac {D-d}{2}}}
S
=
∫
0
x
1
4
y
arccos
D
−
2
h
2
y
1
+
4
a
2
x
2
d
x
{\displaystyle S=\int _{0}^{x_{1}}4y\arccos {\frac {D-2h}{2y}}{\sqrt {1+4a^{2}x^{2}}}\ \mathrm {d} x}
Si
D
−
d
2
≤
h
≤
D
+
d
2
{\displaystyle {\frac {D-d}{2}}\leq h\leq {\frac {D+d}{2}}}
S
=
∫
0
L
2
4
y
arccos
D
−
2
h
2
y
1
+
4
a
2
x
2
d
x
+
1
2
(
d
2
(
arccos
D
−
2
h
d
−
(
D
−
2
h
)
d
2
−
(
D
−
2
h
)
2
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int _{0}^{\frac {L}{2}}4y\arccos {\frac {D-2h}{2y}}{\sqrt {1+4a^{2}x^{2}}}\ \mathrm {d} x\\\ &+{\frac {1}{2}}\left(d^{2}\left(\arccos {\frac {D-2h}{d}}-(D-2h){\sqrt {d^{2}-(D-2h)^{2}}}\right)\right)\end{aligned}}}
Si
h
≥
D
+
d
2
{\displaystyle h\geq {\frac {D+d}{2}}}
S
=
∫
0
x
2
4
y
arccos
D
−
2
h
2
y
1
+
4
a
2
x
2
d
x
+
∫
x
2
L
2
4
π
(
a
x
2
+
D
2
)
1
+
4
a
2
x
2
d
x
+
π
d
2
2
{\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int _{0}^{x_{2}}4y\arccos {\frac {D-2h}{2y}}{\sqrt {1+4a^{2}x^{2}}}\ \mathrm {d} x\\\ &+\int _{x_{2}}^{\frac {L}{2}}4\pi \left(ax^{2}+{\frac {D}{2}}\right){\sqrt {1+4a^{2}x^{2}}}\ \mathrm {d} x+{\frac {\pi d^{2}}{2}}\end{aligned}}}
0
<
h
<
L
{\displaystyle 0<h<L}
S
=
2
π
∫
L
2
−
h
L
2
(
a
x
2
+
D
2
)
1
+
4
a
2
x
2
d
x
+
π
d
2
4
{\displaystyle S=2\pi \int _{{\frac {L}{2}}-h}^{\frac {L}{2}}\left(ax^{2}+{\frac {D}{2}}\right){\sqrt {1+4a^{2}x^{2}}}\ \mathrm {d} x+\pi {\frac {d^{2}}{4}}}
Si
h
=
0
{\displaystyle h=0}
S
=
0
{\displaystyle S=0}
h
=
L
{\displaystyle h=L}
S
=
π
L
8
[
1
+
4
(
d
−
D
)
2
L
2
(
d
+
D
+
L
2
8
(
d
−
D
)
)
−
L
−
2
h
L
1
+
4
(
d
−
D
)
2
(
L
−
2
h
)
2
L
4
(
(
d
−
D
)
(
L
−
2
h
)
2
L
2
+
L
2
8
(
d
−
D
)
+
2
D
)
+
L
d
−
D
(
D
−
L
2
16
(
d
−
D
)
)
(
argsinh
2
(
d
−
D
)
L
2
−
argsinh
2
(
d
−
D
)
(
L
−
2
h
)
L
2
)
]
+
π
d
2
4
{\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {\pi L}{8}}{\Biggl [}{\sqrt {1+{\frac {4(d-D)^{2}}{L^{2}}}}}\left(d+D+{\frac {L^{2}}{8(d-D)}}\right)\\\ &-{\frac {L-2h}{L}}{\sqrt {1+{\frac {4(d-D)^{2}(L-2h)^{2}}{L^{4}}}}}\left({\frac {(d-D)(L-2h)^{2}}{L^{2}}}+{\frac {L^{2}}{8(d-D)}}+2D\right)\\\ &+{\frac {L}{d-D}}\left(D-{\frac {L^{2}}{16(d-D)}}\right)\left(\operatorname {argsinh} {\frac {2(d-D)}{L^{2}}}-\operatorname {argsinh} {\frac {2(d-D)(L-2h)}{L^{2}}}\right){\Bigg ]}\\\ &+{\frac {\pi d^{2}}{4}}\end{aligned}}}
Surface de liquide en contact avec l'air
modifier
La génératrice est la parabole.
La corde
c
{\displaystyle c}
x
{\displaystyle x}
c
=
4
y
2
−
(
D
−
2
h
)
2
{\displaystyle c={\sqrt {4y^{2}-(D-2h)^{2}}}}
Si
h
≤
D
−
d
2
{\displaystyle h\leq {\frac {D-d}{2}}}
S
=
∫
0
x
1
2
c
d
x
{\displaystyle S=\int _{0}^{x_{1}}2c\ \mathrm {d} x}
Si
D
−
d
2
≤
h
≤
D
+
d
2
{\displaystyle {\frac {D-d}{2}}\leq h\leq {\frac {D+d}{2}}}
S
=
∫
0
L
2
2
c
d
x
{\displaystyle S=\int _{0}^{\frac {L}{2}}2c\ \mathrm {d} x}
Si
h
≥
D
+
d
2
{\displaystyle h\geq {\frac {D+d}{2}}}
S
=
∫
0
x
2
2
c
d
x
{\displaystyle S=\int _{0}^{x_{2}}2c\ \mathrm {d} x}
La génératrice est la parabole
0
<
h
<
L
{\displaystyle 0<h<L}
S
=
π
y
2
=
π
(
2
(
d
−
D
)
L
2
(
L
2
−
h
)
2
+
D
2
)
2
{\displaystyle S=\pi y^{2}=\pi \left({\frac {2(d-D)}{L^{2}}}\left({\frac {L}{2}}-h\right)^{2}+{\frac {D}{2}}\right)^{2}}
Si
h
=
0
{\displaystyle h=0}
h
=
L
{\displaystyle h=L}
![{\displaystyle {\begin{aligned}V&=\pi {\Biggl [}{\frac {4(d-D)^{2}}{5L^{4}}}\left(\left({\frac {L}{2}}\right)^{5}-\left({\frac {L}{2}}-h\right)^{5}\right)\\\ &+{\frac {2D(d-D)}{3L^{2}}}\left(\left({\frac {L}{2}}\right)^{3}-\left({\frac {L}{2}}-h\right)^{3}\right)+h\left({\frac {D}{2}}\right)^{2}{\Biggr ]}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdc2bca1f60e76f1c7e12c0f3889d56bc49168d0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{1}&={\frac {\pi L}{4}}{\Biggl [}{\sqrt {{\frac {4(d-D)^{2}}{L^{2}}}+1}}\left(d+D+{\frac {L^{2}}{8(d-D)}}\right)\\\ &+{\frac {L}{d-D}}\left(D-{\frac {L^{2}}{16(d-D)}}\right)\operatorname {argsinh} {\frac {2(d-D)}{L}}{\Biggr ]}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57cdb30b1b85864ef38d5d951d30e20c079261d4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {\pi L}{8}}{\Biggl [}{\sqrt {1+{\frac {4(d-D)^{2}}{L^{2}}}}}\left(d+D+{\frac {L^{2}}{8(d-D)}}\right)\\\ &-{\frac {L-2h}{L}}{\sqrt {1+{\frac {4(d-D)^{2}(L-2h)^{2}}{L^{4}}}}}\left({\frac {(d-D)(L-2h)^{2}}{L^{2}}}+{\frac {L^{2}}{8(d-D)}}+2D\right)\\\ &+{\frac {L}{d-D}}\left(D-{\frac {L^{2}}{16(d-D)}}\right)\left(\operatorname {argsinh} {\frac {2(d-D)}{L^{2}}}-\operatorname {argsinh} {\frac {2(d-D)(L-2h)}{L^{2}}}\right){\Bigg ]}\\\ &+{\frac {\pi d^{2}}{4}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40eacdd4adcbf731aae1788165f52763b566a6c1)
