Master theorem de Glasser

En calcul intégral, le master theorem de Glasser explique comment une certaine classe de substitutions peut simplifier certaines intégrales impropres sur tout l'intervalle réel. Il est applicable dans les cas où les intégrales doivent être interprétées comme des valeurs principales de Cauchy et a fortiori lorsque les intégrales convergent absolument. Il porte le nom de M. L. Glasser, qui l'a établi en 1983, bien qu'on retrouve une première étude de cette égalité par George Pólya et Gabor Szegö dès 1924, dans le cadre de l'étude de fonctions rationnelles qui préservent la mesure de Lebesgue.

Cas particulier : la transformation de Cauchy-Schlömilch

Un cas particulier appelé substitution de Cauchy-Schlömilch ou transformation de Cauchy-Schlömilch était connu de Cauchy au début du XIX^e siècle. Il dit que si

$u=x-{\frac {1}{x}}\,$

alors

$\operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(u)\,\mathrm {d} x=\operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(x)\,\mathrm {d} x\qquad ({\text{Note: }}F(u)\,\mathrm {d} x,{\text{ et non }}\ F(u)\,\mathrm {d} u)$

où PV désigne la valeur principale de Cauchy.

Le théorème principal

Si $a$, $a_{i}$, et $b_{i}$ sont des nombres réels et

$u=x-a-\sum _{n=1}^{N}{\frac {|a_{n}|}{x-b_{n}}}$

alors

$\operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(u)\,\mathrm {d} x=\operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(x)\,\mathrm {d} x.$

Démonstration

Soient $I_{n}=(b_{n},b_{n+1}),n=0,\ldots ,N$ avec la convention $b_{0}=-\infty ,b_{N+1}=+\infty$.

On a, par simple étude de fonctions :

$\forall x\in \mathbb {R} \setminus {b_{1},\ldots ,b_{N}},\ {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}>1.$

$\forall b\in {b_{1},\ldots ,b_{N}},\ \lim _{x\rightarrow b^{-}}u=+\infty ,\ \lim _{x\rightarrow b^{+}}u=-\infty .$

Ainsi, sur chaque sous-intervalle $I_{n}$, $u$ définit une bijection, dont on note $v_{n}$ la réciproque :

$\forall n=0,\ldots ,N,\ u\circ v_{n}=\mathrm {id} _{\mathbb {R} }.$

Alors pour tout $y\in \mathbb {R}$, l'équation $u=y$ a exactement N+1 zéros $v_{0}(y),\ldots ,v_{N}(y)$. En multipliant les deux côtés par $(x-b_{1})\ldots (x-b_{N})$, on a :

$(x-a-y)(x-b_{1})\ldots (x-b_{N})+p(x)=0$

où p est un polynôme de degré inférieur ou égal à N-1. Le premier terme est un polynôme de degré N+1, on en déduit que le terme de gauche coïncide avec $(x-v_{0}(y))\ldots (x-v_{N}(y))$. Une comparaison terme à terme des coefficients montre que :

$y+a+a_{1}+\ldots +a_{N}=v_{0}(y)+\ldots +v_{N}(y).$

Ainsi, pour toute fonction Lebesgue-mesurable f sur la droite réelle, on a :

$\int _{\mathbb {R} }f(u)\,\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{N}\int _{I_{k}}f(u)\,\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{N}\int _{\mathbb {R} }f(y)v_{k}'(y)\,\mathrm {d} y=\int _{\mathbb {R} }f(x)\,\mathrm {d} x,$

soit le résultat recherché.

Exemples

• On a :

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2}\,\mathrm {d} x}{x^{4}+1}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\left(x-{\frac {1}{x}}\right)^{2}+2}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}+2}}={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}.$

• La fonction caractéristique d'une distribution de Lévy est donnée par :

$\varphi (t)=\int _{0}^{+\infty }{\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}{\frac {1}{x^{3/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {c}{2x}}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} tx}\mathrm {d} x$

Or,

${\begin{aligned}\varphi (\mathrm {i} t)&=\int _{0}^{+\infty }{\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}{\frac {1}{x^{3/2}}}\exp \left(-{\frac {c}{2x}}-tx\right)\mathrm {d} x\\[3pt]&={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {1}{x^{3/2}}}\exp \left(-{\frac {c}{2x}}-tx\right)\mathrm {d} x\\[3pt]&{\stackrel {x={\frac {c}{2u^{2}}}}{=}}{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{+\infty }\exp \left(-u^{2}-{\frac {ct}{2u^{2}}}\right)\mathrm {d} u\\[3pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\times {\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{+\infty }\exp \left[-\left(u-{\sqrt {\frac {ct}{2}}}{\frac {1}{u}}\right)^{2}-{\sqrt {2ct}}\right]\mathrm {d} u\end{aligned}}$

Le théorème principal de Glasser permet de conclure :

$\varphi (\mathrm {i} t)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\exp \left(-{\sqrt {2ct}}\right)\int _{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-u^{2}\right)\mathrm {d} u={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\exp \left(-{\sqrt {2ct}}\right)\times {\sqrt {\pi }}=\exp \left(-{\sqrt {2ct}}\right)$

Voir aussi

• Master theorem de Ramanujan

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Glasser's Master Theorem », sur MathWorld.