Théorème de la bulle de savon d'Alexandrov

En analyse géométrique, le théorème de la bulle de savon d'Alexandrov est un résultat qui caractérise une sphère par sa courbure moyenne. Le théorème a été prouvé par Alexandre Alexandrov en 1958. Dans sa preuve, il a introduit la méthode des plans mobiles ou méthode MMP, qui a depuis été utilisée avec succès pour de nombreux autres résultats en analyse géométrique et en théorie des équations aux dérivées partielles.

Théorème

Soitent $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ un domaine borné et connexe avec un frontière $\Gamma =\partial \Omega$ de classe $C^{2}$ avec une courbure moyenne constante. Alors $\Gamma$ est une n-sphère.

Bibliographie

• Giulio Ciraolo et Alberto Roncoroni, « The method of moving planes: a quantitative approach », Bruno Pini Mathematical Analysis Seminar,‎ 2018, p. 1 (arXiv 1811.05202)
• Yurii Mikhailovich Smirnov et Alexander Danilovich Aleksandrov, Nine Papers on Topology, Lie Groups, and Differential Equations, vol. 21, American Mathematical Soc., coll. « American Mathematical Society Translations / 2 », 1962 (ISBN 0821817213)
• Rolando Magnanini et Giorgio Poggesi, « On the stability for Alexandrov's Soap Bubble theorem », Journal d'Analyse Mathématique, vol. 139,‎ 2016 (DOI 10.48550/ARXIV.1610.07036, arXiv 1610.07036)