Théorème de Wigner
Le théorème de Wigner est le théorème de base de la théorie des matrices aléatoires et donne le comportement asymptotique global du spectre d'une matrice de Wigner.
Le cadre modifier
Soit une matrice aléatoire symétrique de taille , dont les entrées au-dessus de la diagonale sont des variables indépendantes et identiquement distribuées. On suppose que ces variables sont centrées (leur espérance est nulle) et dont la variance est égale à 1. Par le théorème spectral, la matrice est diagonalisable et possède valeurs propres réelles (pas nécessairement distinctes), que l'on ordonne dans l'ordre décroissant : . Notons la loi spectrale empirique de la matrice : autrement dit,
Enfin, rappelons que la loi du demi-cercle est la loi de probabilité dont la densité par rapport à la mesure de Lebesgue est la fonction .
Énoncé du théorème de Wigner modifier
Dans le cadre exposé précédemment, le théorème de Wigner dit que converge en loi vers la loi du demi-cercle. Une version faible donne la convergence au sens des moments : pour tout entier , on a
Éléments de preuve modifier
Pour démontrer la version faible, on utilise une preuve combinatoire[1] reposant sur les nombres de Catalan ; les moments de suivent leur parité :
On trouve également la méthode de la résolvante[1]. On remarque que la famille de fonctions test ramène le problème à la méthode des moments. Soit . On peut considérer la famille de fonctions test et ramener le problème à une équation pour la trace de la résolvante, liée à la transformée de Cauchy-Stieltjes d'une loi sur définie par :
Notes et références modifier
- Djalil Chafaï, « Introduction aux matrices aléatoires ».