Théorème de Riemann-Roch

En mathématiques, le théorème de Riemann-Roch est un résultat de géométrie algébrique.

Motivation

Originellement, il répond au problème de la recherche de l'existence de fonctions méromorphes sur une surface de Riemann $S$ donnée, sous la contrainte de pôles de multiplicité imposée en certains points. Par exemple, sous sa forme faible, le théorème énonce que pour $m$ points donnés, l'espace (vectoriel) des fonctions méromorphes sur $S$ ayant au plus un pôle du premier ordre en ces points et holomorphes ailleurs est de dimension finie sur ℂ plus grande que $m-g+1$, où $g$ est le genre de la surface.

Énoncé

Soit $S$ une courbe algébrique projective non singulière sur un corps $k$. Pour tout point (fermé) $x\in S$ et pour toute fonction rationnelle $f$ sur $S$, notons $v_{x}(f)$ l'ordre de $f$ en $x$ : c'est l'ordre du zéro de $f$ en $x$ si elle est régulière et s'annule en $x$; il est nul si $f$ est régulière et inversible en $x$ ; et c'est l'opposé de l'ordre du pôle de $f$ si $x$ est un pôle de $f$. Soit $D=\sum _{i}a_{i}[x_{i}]$ un diviseur sur $S$ et soit $\Delta$ un diviseur canonique (c'est-à-dire associé à une forme différentielle). Si l'on appelle $l(D)$ la dimension du $k$-espace vectoriel formé des fonctions rationnelles sur $S$ telles que $v_{x_{i}}(f)\geq -a_{i}$ pour tout $i$, alors on a :

Théorème de Riemann-Roch — $l(D)-l(\Delta -D)=\deg(D)+1-g,$

où $g$ est le genre de la courbe $S$, défini comme étant $l(\Delta )$. Ce théorème peut être interprété comme un calcul de caractéristique d'Euler-Poincaré pour cette situation. Il en existe de nombreuses démonstrations et généralisations.

Articles connexes

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