Théorème de Krull-Akizuki

Le théorème de Krull-Akizuki est un théorème d'algèbre commutative qui donne des conditions sous lesquelles la clôture intégrale d'un anneau noethérien intègre est encore un anneau noethérien.

Énoncé

Soient A un anneau commutatif intègre noethérien de dimension de Krull 1 (ie : tout idéal premier non nul est maximal), K son corps des fractions, L une extension finie de K, et B un sous-anneau de L contenant A. Alors B est noethérien de dimension 1. En outre, pour tout idéal non nul J de B, le A-module B/J est un A-module de longueur finie.

• Remarque : Une conséquence importante du théorème est que la clôture intégrale d'un anneau de Dedekind A dans une extension finie de son corps des fractions est encore un anneau de Dedekind. Ceci se généralise partiellement en dimension supérieure à 1 par le théorème de Mori-Nagata qui montre que la clôture intégrale d'un anneau noethérien intègre est un anneau de Krull.

Démonstration

Supposons pour simplifier que $L=K$. Soit ${\mathfrak {p}}_{i}$ les idéaux premiers minimaux de A, qui sont en nombre fini. Soit $K_{i}$ le corps des fractions de $A/{{\mathfrak {p}}_{i}}$ et $I_{i}$ le noyau de l'application naturelle $B\to K\to K_{i}$. Alors :

$A/{{\mathfrak {p}}_{i}}\subset B/{I_{i}}\subset K_{i}$.

Si le théorème est vrai lorsque A est intègre, alors B est un anneau noethérien intègre de dimension 1 puisque chaque $B/{I_{i}}$ l'est et que $B=\prod B/{I_{i}}$. Il suffit donc de montrer le théorème dans le cas où A est intègre. Soit $0\neq I\subset B$ un idéal et a un élément non nul de $I\cap A$. Posons $I_{n}=a^{n}B\cap A+aA$. Comme $A/aA$ est un anneau noethérien de dimension 0, donc artinien, il existe un indice $l$ tel que $I_{n}=I_{l}$ pour tout $n\geq l$. Montrons que :

$a^{l}B\subset a^{l+1}B+A.$

Puisqu'il suffit d'établir l'inclusion localement, on peut supposer que A est un anneau local d'idéal maximal ${\mathfrak {m}}$. Soit alors x un élément non nul de B , il existe alors n tel que ${\mathfrak {m}}^{n+1}\subset x^{-1}A$ et donc $a^{n+1}x\in a^{n+1}B\cap A\subset I_{n+2}$. Donc,

$a^{n}x\in a^{n+1}B\cap A+A.$

Soit alors $n\geq l$ le plus petit entier pour lequel l'inclusion est vérifiée. Si $n>l$, il est facile de voir que $a^{n}x\in I_{n+1}$. Mais alors, l'inclusion est aussi vérifiée pour $n-1$, ce qui est une contradiction. Donc $n=l$ et l'assertion est démontrée. De cela il s'ensuit que:

$B/{aB}\simeq a^{l}B/a^{l+1}B\subset (a^{l+1}B+A)/a^{l+1}B\simeq A/{a^{l+1}B\cap A}.$

Ceci montre que $B/{aB}$ est un A-module de longueur finie. En particulier, l'image de I est de type fini et donc I est de type fini. Enfin, ce qui précède montre que la dimension de $B/{aB}$ est nulle et donc que B est de dimension 1.