Théorème de Frobenius généralisé

En mathématiques, diverses versions de théorèmes de Frobenius généralisés ont étendu progressivement le théorème de Frobenius de 1877. Ce sont des théorèmes d'algèbre générale qui classifient les algèbres unifères à division de dimension finie sur le corps commutatif ℝ des réels. Moyennant certaines restrictions, il n'y en a que quatre : ℝ lui-même, ℂ (complexes), ℍ (quaternions) et 𝕆 (octonions).

Fragments d'histoire modifier

Toutes les algèbres sont ici implicitement supposées unifères, et leur unicité s'entend à isomorphisme près.

En 1877, Frobenius démontre que les trois seules ℝ-algèbres associatives à division de dimension finie sont ℝ , ℂ et le corps non commutatif ℍ des quaternions (découvert en 1843 par Hamilton).
Le théorème de Gelfand-Mazur, démontré en 1938 par Mazur, établit que l'hypothèse de finitude peut être remplacée par celle de l'existence d'une norme d'algèbre : les trois seules ℝ-algèbres normées associatives à division sont encore ℝ, ℂ et ℍ.

L'algèbre 𝕆 des octonions (construite en 1845 par Cayley) est une algèbre à division qui n'entre pas dans cette catégorie, car elle n'est pas associative mais seulement alternative ( $x (xy) = x 2 y$ et $(yx) x = yx 2$ ).

En 1898, Hurwitz prouve^[1]^,^[2] que les quatre seules ℝ-algèbres à division de dimension finie munies d'une norme multiplicative ( $║ xy ║=║ x ║║ y ║$ ) sont ℝ, ℂ, ℍ et 𝕆. Hurwitz n'a démontré son théorème que dans le cas où la norme est de plus euclidienne. Mais le théorème est souvent cité dans les ouvrages modernes sans cette hypothèse, car elle s'avéra redondante, de même que l'hypothèse de finitude (voir infra).
En 1930, Zorn obtient la même conclusion en remplaçant l'hypothèse d'existence d'une norme multiplicative par celle d'alternativité de l'algèbre^[3]^,^[4].
En 1940, le topologue Hopf montre^[5] que la dimension (supposée finie) d'une ℝ-algèbre à division (alternative ou pas) ne peut être qu'une puissance de 2.
En 1958, s'appuyant comme lui sur des considérations topologiques (dues en particulier à Bott), Kervaire^[6] et Milnor^[7] précisent son résultat : les quatre seules puissances de 2 possibles^[8] sont 1, 2, 4 et 8 (réalisées entre autres^[9] par les quatre algèbres déjà citées).

Preuve du théorème de Hurwitz modifier

Soit A une ℝ-algèbre unifère à division munie d'une norme multiplicative ║ ║ (il n'est pas utile de la supposer a priori de dimension finie). On démontre facilement^[10] que pour deux éléments quelconques $x$ et $y$ dans A de norme $1$ , $║ x + y ║ 2 + ║ x - y ║ 2 \geq 4$ . Il en résulte que cette norme dérive d'un produit scalaire, autrement dit : A est une algèbre de composition à division. On peut donc la reconstruire par doublements^[11] à partir de ℝ : ou bien A est réduite à ℝ, ou bien elle contient une sous-algèbre de composition C de la forme ℝ⊕ℝ $i$ avec $i$ ² = –1 (C est isomorphe à ℂ). Si A n'est pas réduite à C, à nouveau, elle contient une sous-algèbre de composition H de la forme C⊕C $j$ avec $j$ orthogonal à C et $j$ ² = –1 (H est isomorphe à ℍ). Enfin, si A n'est pas réduite à H, elle contient un élément $ℓ$ orthogonal à H et tel que $ℓ$ ² = –1, mais la sous-algèbre O = H⊕H $ℓ$ est alors isomorphe à 𝕆, donc de dimension finie et non associative, donc égale à A tout entière. Conclusion : A est isomorphe à ℝ, ℂ, ℍ ou 𝕆.

Preuve du théorème de Zorn modifier

Soit A une ℝ-algèbre unifère alternative à division de dimension finie^[12]. Par associativité des puissances, la sous-algèbre engendrée par un élément quelconque $x$ de A est une extension finie de ℝ (isomorphe à ℝ ou ℂ), ce qui permet de définir la norme de $x$ comme étant son module dans cette sous-algèbre (cette norme dépend uniquement du polynôme minimal de $x$ ). Mais d'après un théorème d'Artin, l'alternativité de A garantit une propriété bien plus forte que l'associativité des puissances : toute sous-algèbre engendrée par deux éléments est associative. En faisant appel au théorème de Frobenius de 1877 (joint au fait que les normes canoniques sur ℝ, ℂ et ℍ se correspondent via les inclusions), on peut en déduire que l'on a bien défini une norme sur A et que celle-ci est multiplicative (et d'ailleurs aussi euclidienne) puisque celles de ℝ, ℂ et ℍ le sont. D'après le théorème de Hurwitz, A est donc isomorphe à ℝ, ℂ, ℍ ou 𝕆.

Notes et références modifier

↑ (de) A. Hurwitz, « Ueber die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln » [« Sur la composition de formes quadratiques d'un nombre arbitraire de variables »], Nachr. Ges. Wiss. Göttingen,‎ 1898, p. 309-316 (zbMATH 29.0177.01, lire en ligne).
↑ (en) Eberhard Zeidler, Quantum Field Theory, vol. 3, Springer, 2011, 1126 p. (ISBN 978-3-642-22420-1, lire en ligne), p. 178.
↑ (de) Max Zorn, « Theorie der alternativen Ringe », Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, vol. 8,‎ 1930, p. 123-147.
↑ (en) R. H. Bruck et E. Kleinfeld, « The structure of alternative division rings », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 2,‎ 1951, p. 878-890 montrèrent sans l'hypothèse de finitude que la seule ℝ-algèbre à division alternative mais non associative est celle des octonions : (en) Kevin McCrimmon, A Taste of Jordan Algebras, Springer, 2004, 563 p. (ISBN 978-0-387-95447-9, lire en ligne), p. 154.
↑ Hopf, Heinz sur ChronoMath.
↑ (en) M. Kervaire, « Non-parallelizability of the $n$ -sphere for $n > 7$ », PNAS, vol. 44,‎ 1958, p. 280-283 (lire en ligne).
↑ (en) J. W. Milnor, « Some consequences of a theorem of Bott », Ann. of Math., vol. 68,‎ 1958, p. 444-449 (DOI 10.2307/1970255).
↑ Ce résultat s'étend à toute algèbre sur un corps réel clos : Hourya Sinaceur, Corps et modèles : essai sur l'histoire de l'algèbre réelle, Vrin, 1991, 496 p. (ISBN 978-2-7116-1038-9, lire en ligne), p. 350-351.
↑ Mais il existe des ℝ-algèbres unifères à division de dimension finie non alternatives, comme ℂ² muni de la multiplication (a, b)(x, y) = (ax + gyb, ay + xb) où g est un complexe quelconque n'appartenant pas à ℝ⁺. Cette construction est suggérée par (en) R. D. Schafer, « On a construction for division algebras of order 16 », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 51, n^o 8,‎ 1945, p. 532-534 (lire en ligne), note 2, qui renvoie à (en) Richard H. Bruck, « Some results in the theory of linear non-associative algebras », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 56,‎ 1944, p. 141-199 (lire en ligne), Theorem 16C, Corollary 1 pour une généralisation.
↑ (en) Fred B. Wright, « Absolute valued algebras », PNAS, vol. 39,‎ 1953, p. 330-332 (lire en ligne).
↑ Pour plus de détails, voir la fin de la section « Algèbres de composition déployées et algèbres à division de composition » de l'article sur les algèbres de composition, qui résume (en) Tonny A. Springer et Ferdinand D. Veldkamp, Octonions, Jordan Algebras, and Exceptional Groups, Springer, 2000, 208 p. (ISBN 978-3-540-66337-9, lire en ligne), p. 11-14.
↑ Pour une démonstration « à la main » et sans prérequis, voir (en) Angel Oneto, « Alternative Real Division Algebras of Finite Dimension », Divulgaciones Matemáticas, vol. 10, n^o 2,‎ 2002, p. 161-169 (lire en ligne), ou (en) Matthew Badger, « Division agebras over the real numbers » (version du 7 juin 2011 sur Internet Archive), 14 avril 2006, qui le reprend et le complète.

Lien externe modifier

(en) Eric W. Weisstein, « Division Algebra », sur MathWorld

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[Hurwitz-1] (de) A. Hurwitz, « Ueber die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln » [« Sur la composition de formes quadratiques d'un nombre arbitraire de variables »], Nachr. Ges. Wiss. Göttingen,‎ 1898, p. 309-316 (zbMATH 29.0177.01, lire en ligne).

[2] (en) Eberhard Zeidler, Quantum Field Theory, vol. 3, Springer, 2011, 1126 p. (ISBN 978-3-642-22420-1, lire en ligne), p. 178.

[3] (de) Max Zorn, « Theorie der alternativen Ringe », Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, vol. 8,‎ 1930, p. 123-147.

[4] (en) R. H. Bruck et E. Kleinfeld, « The structure of alternative division rings », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 2,‎ 1951, p. 878-890 montrèrent sans l'hypothèse de finitude que la seule ℝ-algèbre à division alternative mais non associative est celle des octonions : (en) Kevin McCrimmon, A Taste of Jordan Algebras, Springer, 2004, 563 p. (ISBN 978-0-387-95447-9, lire en ligne), p. 154.

[5] Hopf, Heinz sur ChronoMath.

[6] (en) M. Kervaire, « Non-parallelizability of the $n$ -sphere for $n > 7$ », PNAS, vol. 44,‎ 1958, p. 280-283 (lire en ligne).

[7] (en) J. W. Milnor, « Some consequences of a theorem of Bott », Ann. of Math., vol. 68,‎ 1958, p. 444-449 (DOI 10.2307/1970255).

[8] Ce résultat s'étend à toute algèbre sur un corps réel clos : Hourya Sinaceur, Corps et modèles : essai sur l'histoire de l'algèbre réelle, Vrin, 1991, 496 p. (ISBN 978-2-7116-1038-9, lire en ligne), p. 350-351.

[9] Mais il existe des ℝ-algèbres unifères à division de dimension finie non alternatives, comme ℂ² muni de la multiplication (a, b)(x, y) = (ax + gyb, ay + xb) où g est un complexe quelconque n'appartenant pas à ℝ⁺. Cette construction est suggérée par (en) R. D. Schafer, « On a construction for division algebras of order 16 », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 51, n^o 8,‎ 1945, p. 532-534 (lire en ligne), note 2, qui renvoie à (en) Richard H. Bruck, « Some results in the theory of linear non-associative algebras », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 56,‎ 1944, p. 141-199 (lire en ligne), Theorem 16C, Corollary 1 pour une généralisation.

[10] (en) Fred B. Wright, « Absolute valued algebras », PNAS, vol. 39,‎ 1953, p. 330-332 (lire en ligne).

[11] Pour plus de détails, voir la fin de la section « Algèbres de composition déployées et algèbres à division de composition » de l'article sur les algèbres de composition, qui résume (en) Tonny A. Springer et Ferdinand D. Veldkamp, Octonions, Jordan Algebras, and Exceptional Groups, Springer, 2000, 208 p. (ISBN 978-3-540-66337-9, lire en ligne), p. 11-14.

[12] Pour une démonstration « à la main » et sans prérequis, voir (en) Angel Oneto, « Alternative Real Division Algebras of Finite Dimension », Divulgaciones Matemáticas, vol. 10, n^o 2,‎ 2002, p. 161-169 (lire en ligne), ou (en) Matthew Badger, « Division agebras over the real numbers » (version du 7 juin 2011 sur Internet Archive), 14 avril 2006, qui le reprend et le complète.

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