Théorème de Carnot (courbe algébrique)
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Un théorème de Carnot de géométrie euclidienne, dû à Lazare Nicolas Marguerite Carnot, porte sur une condition pour que des points situés sur les côtés d'un triangle soient situés sur une même conique.
Énoncé modifier
On se donne dans un triangle six points : sur le côté , sur le côté et sur le côté .
Ces six points sont situés sur une même conique si et seulement si on a la relation suivante [1],[2],[3] :
On peut voir ce théorème comme une généralisation au degré 2 du théorème de Ménélaüs portant sur l'alignement de trois points situés sur les côtés d'un triangle.
Exemple d'application modifier
Les droites joignant les sommets d'un triangle à deux points donnés coupent les côtés opposés en six points qui sont sur une même conique [2].
On applique le théorème de Ceva aux trois céviennes passant par le premier point, ainsi qu'aux trois céviennes passant par le deuxième, et le produit des deux relations de Ceva donne la relation de Carnot.
En confondant les deux points, on obtient que les pieds de trois céviennes concourantes sont les points de contact d'une conique inscrite.
Généralisation modifier
Le théorème précédent se généralise à une courbe algébrique sécante à un polygone fermé plan[4],[5],[6], ainsi qu'à l'espace[4],[7],[8],[9],[10].
Énoncé dans le cas du triangle modifier
Théorème de Carnot pour une courbe de degré [1],[2],[3],[11].
Étant donné une courbe algébrique quelconque de degré coupant un triangle :
soit (resp. et ) le produit des distances, réelles ou imaginaires, de (resp. et ) aux points d'intersection de la courbe avec le côté (resp. et ),
et soient de même , et les produits semblables associés aux côtés , et . Alors
Bibliographie modifier
- Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 (ISBN 978-2-916352-08-4)
Notes et références modifier
- Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Théorème de Carnot » (voir la liste des auteurs).
- L. N. M. Carnot, Géométrie de position, J. B. M. Duprat, , 291 et 436 et suivantes
- Dominique Tournès, « Théorème de Carnot », IUFM de La Réunion
- M. Chasles, Traité des sections coniques, faisant suite au traité de géométrie supérieure, Paris, Gauthier-Villars, 1865, p. 19, l'énonce pour une conique.
- C.-A. Laisant, « Remarques au sujet du théorème de Carnot », Nouvelles annales de mathématiques, 3e série, vol. 9, , p. 5-20 (lire en ligne)
- Charles Michel, « Remarques sur quelques théorèmes généraux de géométrie métrique », Nouvelles annales de mathématiques, 3e série, vol. 19, , p. 169-176 (lire en ligne) parle du « théorème de Carnot sur les transversales ».
- O. Terquem, « Sur le théorème segmentaire de Carnot et conséquences sur les tangentes », Nouvelles annales de mathématiques, 1e série, vol. 18, , p. 347-348 (lire en ligne)
- J. V. Poncelet, « Analyse des transversales appliquée à la recherche des propriétés projectives des lignes et surfaces géométriques », J. reine angew. Math., vol. 8, , p. 21-41 (lire en ligne)
- Pour Karine Chemla, « Remarques sur les recherches géométriques de Lazare Carnot », dans Jean Paul Charnay et Claude Albert, Lazare Carnot, ou, Le Savant citoyen, Presses Paris Sorbonne, (ISBN 978-2-90431567-1, lire en ligne), p. 525-542, « La théorie des transversales semble avoir été le vecteur de l'influence de Carnot sur les géomètres qui l'ont suivi. »
- André Cazamian, « Sur le théorème de Carnot », Nouvelles annales de mathématiques, 3e série, vol. 14, , p. 30-40 (lire en ligne) parle de « relation de Carnot ».
- A. Mannheim, « Note à propos d'un théorème connu de géométrie », Bull. SMF, vol. 25, , p. 78-82 (lire en ligne), l'utilise pour un quadrilatère gauche.
- Pour Pierre Nicaise, Les courbes algébriques planes du troisième ordre : mémoires mathématiques, Paris, Publibook, , 200 p. (ISBN 978-2-7483-7275-5, lire en ligne), ce « théorème de Carnot » est « une des principales émanations » de la « méthode des transversales ».
