Théorème de Blichfeldt

En mathématiques, le théorème de Blichfeldt est le théorème suivant, démontré en 1914 par Hans Blichfeldt (de) :

Soit un entier $k>0$. Dans toute région de ℝⁿ de volume strictement supérieur à $k$, et dans tout compact de volume $k$, il existe $k+1$ points distincts dont les différences sont à coordonnées entières.

Ou, ce qui est équivalent :

Soit $\Lambda$ un réseau de ℝⁿ de covolume $V$. Dans toute région de ℝⁿ de volume strictement supérieur à $kV$, et dans tout compact de volume $kV$, il existe $k+1$ points distincts dont les différences appartiennent à $\Lambda$.

Une grande partie de la géométrie des nombres en résulte, à commencer par le théorème de Minkowski, que le cas $k=1$ suffit à redémontrer très rapidement.

Démonstrations

Considérons d'abord une « région » $M$ de ℝⁿ (à prendre ici au sens : partie Lebesgue-mesurable), de « volume » (au sens de la mesure de Lebesgue) $\lambda _{n}(M)>k$.

Les deux premières des trois démonstrations ci-dessous s'appuient sur le lemme suivant (qui, pour $k=1$, est immédiat) :

Principe des tiroirs pour les mesures. — Soient $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ un espace mesuré et $(N_{\alpha })$ une famille au plus dénombrable de parties mesurables de $X$.

Si $\sum _{\alpha }\mu (N_{\alpha })>k\,\mu (\cup _{\alpha }N_{\alpha })$ alors il existe un point de $X$ appartenant à au moins $k+1$ de ces parties.

La preuve en est simple : en notant $\mathbb {1} _{N}$ l'indicatrice de toute partie $N$ de $X$, on a $\int _{\cup _{\beta }N_{\beta }}\sum _{\alpha }\mathbb {1} _{N_{\alpha }}\ \mathrm {d} \mu >\int _{\cup _{\beta }N_{\beta }}k\ \mathrm {d} \mu$ donc la fonction $\sum _{\alpha }\mathbb {1} _{N_{\alpha }}$ est strictement supérieure à $k$ en au moins un point.

• Les translatés du domaine fondamental $D:=\left[0,1\right[^{n}$ par les vecteurs à coordonnées entières forment une partition de ℝⁿ, donc leurs intersections avec $M$ forment une partition de $M$. Or la mesure de Lebesgue est invariante par translation. Par conséquent :$\sum _{\alpha \in \mathbb {Z} ^{n}}\lambda _{n}(D\cap (M-\alpha ))=\sum _{\alpha \in \mathbb {Z} ^{n}}\lambda _{n}((D+\alpha )\cap M)=\lambda _{n}(M)>k=k\,\lambda _{n}(D)\geq k\,\lambda _{n}(\cup _{\alpha \in \mathbb {Z} ^{n}}(D\cap (M-\alpha ))$.D'après le principe des tiroirs, il existe donc au moins un point $z\in D$ et $k+1$ vecteurs distincts $\alpha _{0},\dots ,\alpha _{k}\in \mathbb {Z} ^{n}$ tels que $z\in M-\alpha _{i}$. Les $k+1$ points $m_{i}:=z+\alpha _{i}\in M$ sont alors distincts, et leurs différences $m_{i}-m_{j}=\alpha _{i}-\alpha _{j}$ sont bien à coordonnées entières, ce qui termine la première démonstration.

Le principe de la deuxième démonstration consiste à placer des translatés de M en chaque point entier d'un pavé, et à comparer le volume de leur réunion et la somme de leurs volumes.

• Supposons, sans perte de généralité, que $M$ est borné. On considère un entier m > 0, et à chaque vecteur α à coordonnées entières comprises entre 0 et m, on associe le translaté M + α. Pour δ tel que M soit inclus dans [–δ, δ]ⁿ, tous ces translatés sont inclus dans le pavé [–δ, m + δ]ⁿ, comme illustré sur la figure. Pour m assez grand, on a (m + 1)ⁿλ_n(M) > k(m + 2δ)ⁿ, c'est-à-dire :$\sum _{\alpha \in \{0,\dots ,m\}^{n}}\lambda _{n}(M+\alpha )>k\,\lambda _{n}(\left[-\delta ,m+\delta \right]^{n})\geq k\,\lambda _{n}\left(\cup _{\alpha \in \{0,\dots ,m\}^{n}}(M+\alpha )\right)$.On conclut, comme dans la première démonstration, grâce au principe des tiroirs.
• Cette troisième démonstration ne s'applique que si $M$ est cubable. Pour tout entier $r>0$, notons $N_{r}$ le nombre de points de ${\frac {1}{r}}\mathbb {Z} ^{n}$ appartenant à $M$. Ce nombre est équivalent à $r^{n}\lambda _{n}(M)$ quand $r\to \infty$, donc est strictement supérieur à $r^{n}k$ pour $r$ suffisamment grand. Or modulo $\mathbb {Z} ^{n}$, les éléments de ${\frac {1}{r}}\mathbb {Z} ^{n}$ ne forment que $r^{n}$ classes. L'une d'entre elles contient donc au moins $k+1$ des $N_{r}$ points considérés, c'est-à-dire qu'il existe $z\in {\frac {1}{r}}\mathbb {Z} ^{n}$ tel que $z+\mathbb {Z} ^{n}$ contienne $k+1$ points distincts $m_{0}=z+\alpha _{0},\dots ,m_{k}=z+\alpha _{k}$ de $M$. Les différences $m_{i}-m_{j}=\alpha _{i}-\alpha _{j}$ sont bien à coordonnées entières, ce qui termine cette troisième démonstration.

Considérons maintenant un compact $M$ de volume $k$. D'après ce qui précède, pour tout entier $t>0$, il existe un $(k+1)$-uplet $m_{t}=\left(1+{\frac {1}{t}}\right)p_{t}\in \left(1+{\frac {1}{t}}\right)M^{k+1}$ tel que pour $i\neq j$, $m_{t,i}-m_{t,j}\in \mathbb {Z} ^{n}\setminus \{0\}$. La suite $(p_{t})_{t\in \mathbb {N} ^{*}}$ (à valeurs dans le compact produit $M^{k+1}$) possède une valeur d'adhérence $p\in M^{k+1}$, qui est alors aussi valeur d'adhérence de $(m_{t})_{t\in \mathbb {N} ^{*}}$. Pour $i\neq j$, $p_{i}-p_{j}$ appartient donc au fermé $\mathbb {Z} ^{n}\setminus \{0\}$.