Théorème d'Auslander-Buchsbaum

En algèbre commutative, le théorème d'Auslander-Buchsbaum aussi appelé théorème d'Auslander-Buchsbaum-Serre dit qu'un anneau local régulier est un anneau factoriel.

Historique

L'historique de la preuve est donnée dans la discussion sur Mathoverflow de 2011. La première preuve de ce théorème est de Maurice Auslander et David Buchsbaum et date de 1959. Ils ont montré que les anneaux locaux réguliers de dimension 3 sont des anneaux factoriels, et Masayoshi Nagata avait précédemment montré que cela implique que tous les anneaux locaux réguliers sont factoriels. L'un des lemmes essentiels à la preuve a été démontré par Jean-Pierre Serre, et le résultat lui-même est d'abord anonncé par les auteurs en 1959, puis démontré en 1959. Kaplansky partage les contributions comme suit : « The big theorem was proved by Auslander, Buchsbaum and Serre. (The Auslander-Buchsbaum portion was announced in 1956, with full details in 1959; Serre finished the job in 1956.) ».

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Auslander–Buchsbaum theorem » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• Maurice Auslander et David A. Buchsbaum, « Homological dimension in noetherian rings », Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 42,‎ 1956, p. 36–38 (JSTOR 90213, MR 0103906).
• Maurice Auslander et David A. Buchsbaum, « Unique factorization in regular local rings », Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 45, n^o 5,‎ 1959, p. 733–734 (DOI 10.1073/pnas.45.5.733 , JSTOR 90213, MR 0103906).
• Masayoshi Nagata, « A general theory of algebraic geometry over Dedekind domains. II. Separably generated extensions and regular local rings », American Journal of Mathematics, vol. 80, n^o 2,‎ 1958, p. 382–420 (ISSN 0002-9327, DOI 10.2307/2372791, JSTOR 2372791, MR 0094344).
• M. Quentel, « Sur le théorème d'Auslander - Buchsbaum », Publications mathématiques et informatique de Rennes, n^o 4, Exposé no. 17, 9 p.,‎ 1972 (lire en ligne).
• David Buchsbaum, Hailong Dao et al, « Serre's theorem about regularity and homological dimension », Mathoverflow, 12 juillet 2011 et suiv. (consulté le 12 septembre 2021).
• Jean-Pierre Serre, « Sur la dimension homologique des anneaux et des modules noethériens », Proceedings of the international symposium on algebraic number theory (Tokyo & Nikko 1955), Tokyo & Nikko, Science Council of Japan, Tokyo,,‎ 1956, p. 175–189.
• Irving Kaplansky, « Commutative rings », Lecture Notes in Mathematics, Springer, vol. 311 « Conference on Commutative Algebra (Univ. Kansas, Lawrence, Kan., 1972) »,‎ 1973, p. 153–166.