Test de la dérivée première
En analyse réelle, le test de la dérivée première permet de déterminer l'allure d'une fonction dérivable en étudiant le signe de sa dérivée. Grâce à ce test, on peut déduire les extrema locaux, le sens de variation de f et les points d'inflexion « horizontaux », permettant ainsi de donner une allure du graphe de la fonction .
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Cas général modifier
Soit avec un intervalle ouvert réel (par exemple où et sont des réels). On suppose de plus que dérivable sur .
![{\displaystyle I=]a,b[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5936f1e18962426e42d06dd45d5110f2e643aad3)
L'étude du signe de la dérivée permet d'en déduire les variations de la fonction :
- Si est un intervalle tel que pour tout , alors est strictement décroissante sur
- Si est un intervalle tel que pour tout , alors est strictement croissante sur
- Si est tel que , alors admet un extremum local ou un point d'inflexion (suivant si change de signe en ou non).
Les points en lesquels s'annule sont parfois appelés points critiques. Leur étude est très utile quand on s'intéresse aux variations d'une fonction. En effet, si la fonction change de sens de variation en un point, la dérivée s'annule en ce point. Cependant, la réciproque est fausse dans le cas général : peut s'annuler sans que ne change de sens de variation, c'est par exemple le cas lorsque admet un point d'inflexion horizontal.
Exemple modifier
Soit la fonction polynomiale définie pour tout par .
On utilise le test de la dérivée première pour établir le tableau de variation de et ainsi donner l'allure du graphe de cette fonction.
Dérivée modifier
On commence par calculer la dérivée de à l'aide des formules usuelles des dérivées. Pour ,
On en déduit que et donc que la tangente à la courbe de la fonction est horizontale en et . De plus, la fonction est strictement positive sur et et strictement négative sur (voir Fonction du second degré).
![{\displaystyle ]-\infty ,-1[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/965141b157d9743231e559482f1dbce27bef8ce4)
![{\displaystyle ]2,+\infty [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d37a04e35927848223ebd8e08900fe26ae0bba46)
![{\displaystyle ]-1,2[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d6b22c1a64a41b72b3f9f2cd9735c2a2f4bff0)
Tableau de variations modifier
Un aperçu de la représentation graphique de peut être obtenu en regroupant toutes les informations précédentes dans un tableau, appelé tableau de variation.
| signe de
|
|||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| variations de
|
On remarque que la fonction change de signe en -1 donc il s'agit bien d'un extremum local, ici un maximum. De même, en 2, la fonction atteint un minimum local. On peut en déduire une esquisse du graphe de .
Cas multivarié modifier
De manière analogue, on peut déterminer les extrema locaux et globaux d'une fonction réelle à valeurs réelles par l'étude des points d'annulation du gradient.
