Suite de Davenport-Schinzel

En combinatoire, une suite de Davenport-Schinzel est une suite de symboles dans laquelle le nombre de fois où deux symboles peuvent apparaître en alternance est limité. La longueur d'une suite de Davenport-Schinzel est limitée par le nombre de ses symboles distincts multiplié par un facteur petit mais non constant qui dépend du nombre d'alternances qui sont permises. Les suites de Davenport-Schinzel furent définies pour la première fois par Harold Davenport et Andrzej Schinzel afin d'analyser les équations différentielles linéaires. Ces séries et leurs limitations de longueur sont également devenues des outils standard en géométrie discrète et dans l'analyse des algorithmes géométriques^[1].

Définition modifier

Une suite finie de « symboles » U = u₁, u₂, u₃, ... u_N est dite suite de Davenport–Schinzel d'ordre s si elle satisfait aux deux propriétés suivantes :

deux valeurs consécutives de la suite ne peuvent être égales.
si x et y sont deux valeurs distinctes se produisant dans la suite, alors la suite ne contient pas de sous-suite ... x, ... y, ..., x, ..., y, ... consistant en s + 2 valeurs alternant entre x et y mais contient une sous-suite de longueur s + 1 avec deux symboles distincts.

Ainsi, la suite :

1, 2, 1, 3, 1, 3, 2, 4, 5, 4, 5, 2, 3

est une suite de Davenport–Schinzel d'ordre 3. Elle contient des sous-suites alternatives de longueur quatre, comme ...1, ... 2, ... 1, ... 2, ... (qui apparaît de quatre manières différentes comme une sous-suite dans la suite globale), mais ne contient aucune sous-suite alternative de longueur cinq.

Si une suite de Davenport–Schinzel d'ordre s comprend n valeurs distinctes, elle est appelée suite de Davenport–Schinzel (n,s), ou suite DS(n,s)^[2].

Limites aux longueurs modifier

La complexité des suites DS(n,s) a été analysée asymptotiquement lorsque n tend vers l'infini, en supposant que s est une constante fixe. Des bornes fortes presque optimales sont connues pour tout s.

Soit λ_s(n) la longueur de la suite DS(n,s) la plus longue. Les meilleurs limites connues sur λ_s utilisent la fonction d'Ackermann inverse.

α(n) = min { m | A(m,m) ≥ n },

où A est la fonction d'Ackermann. En raison de la croissance très rapide de la fonction d'Ackermann, son inverse α croît très lentement, et est d'au plus quatre pour les problèmes de taille pratique^[3].

Avec les notations de Landau (o et O), on connait les limites suivantes :

λ₁(n) = n^[4],
λ₂(n) = 2n − 1^[4].
$\scriptstyle {2n\alpha (n)-O(n)\leq \lambda _{3}(n)\leq 2n\alpha (n)+O(n{\sqrt {\alpha (n)}})}$ ^[5]. Cette borne de complexité peut être réalisée avec un facteur constant par des segments de droite : il existe des arrangements de n segments de droite dans le plan dont les enveloppes les plus basses ont la complexité Ω(n α(n))^[6].
pour les valeurs paires de s≥ 4^[7], $\scriptstyle {\lambda _{s}(n)=n\cdot 2^{{\frac {1}{t!}}\alpha (n)^{t}(1+o(1))}}$ , où t = s/2 − 1.
pour les valeurs impaires de s≥ 5^[7], $\scriptstyle {\lambda _{s}(n)=n\cdot 2^{O(\alpha (n)^{\frac {s-3}{2}}\log \alpha (n))}.}$ .

La valeur de λ_s(n) est connue également lorsque s est variable et n une constante petite^[8] :

\scriptstyle {\lambda _{s}(2)=s+1\,}

\scriptstyle {\lambda _{s}(3)=3s-2+(s\,{\bmod {\,}}2)}

\scriptstyle {\lambda _{s}(4)=6s-2+(s\,{\bmod {\,}}2)}

Application aux enveloppes basses modifier

Une suite de Davenport-Schinzel formée par les enveloppes basses de segments de droite.

L'enveloppe basse d'un ensemble de fonctions ƒ_i(x) d'une variable réelle x est la fonction donnée par leurs minimums en chaque point :

ƒ(x) = min_i ƒ_i(x).

On suppose que ces fonctions ont des comportements favorables : elles sont toutes continues, et chaque paire d'entre elles sont égales en au moins s valeurs. Avec ces hypothèses, la droite réelle peut être découpée en de nombreux intervalles finis dans lesquels une fonction à ses valeurs plus basses que celles de toutes les autres. La série de ces intervalles, désignée par la fonction de minimisation dans chacun des intervalles, forme une suite de Davenport–Schinzel d'ordre s. Donc, toute limite supérieure de la complexité d'une suite de Davenport–Schinzel de cet ordre limite aussi le nombre d'intervalles dans cette représentation de l'enveloppe basse.

Dans l'application originelle de Davenport et Schinzel, les fonctions considérées étaient un ensemble de solutions différentes à la même équation différentielle linéaire homogène d'ordre s. Toute paire de solutions distinctes peut avoir au plus s valeurs en commun, et donc l'enveloppe basse d'un ensemble de n solutions distinctes forme une suite DS(n,s).

Ce même concept d'enveloppe basse peut aussi être appliqué aux fonctions qui sont continues par morceaux ou définies seulement sur des intervalles de la droite réelle. Cependant, dans ce cas, les points de discontinuités des fonctions et des extrémités de l'intervalle dans lequel chaque fonnction est définie ajoute à l'ordre de la suite. Ainsi un segment de droite non vertical dans le plan peut être considéré comme le graphe d'une fonction liant un intervalle de x valeurs aux valeurs y correspondantes, et l'enveloppe basse d'un ensemble de segments de droite forme une suite de Davenport–Schinzel d'ordre trois car toute paire de segments de droite peut former une sous-suite alternative avec une longueur d'au plus quatre.

Notes et références modifier

Notes modifier

↑ Atallah 1985 ; Sharir et Agarwal 1995, p. x et 2.
↑ Voir Sharir et Agarwal 1995, p. 1, pour cette notation.
↑ Sharir et Agarwal 1995, p. 14
↑ ^{a et b} Sharir et Agarwal 1995, p. 6
↑ Sharir et Agarwal 1995, chapitre 2, p. 12-42 ; Hart et Sharir 1986 ; Wiernik et Sharir 1988 ; Komjáth 1988 ; Klazar 1999 ; Nivasch 2009.
↑ Sharir et Agarwal 1995, chapitre 4, p. 86-114 ; Wiernik et Sharir 1988.
↑ ^{a et b} Sharir et Agarwal 1995, chapitre 3, p. 43-85 ; Agarwal, Sharir & Shor 1989; Nivasch 2009.
↑ Roselle et Stanton 1970/71.

Références modifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Davenport–Schinzel sequence » (voir la liste des auteurs).
(en) Pankaj K. Agarwal (en), Micha Sharir (en) et P. Shor, « Sharp upper and lower bounds on the length of general Davenport–Schinzel sequences », Journal of Combinatorial Theory, Series A, vol. 52, n^o 2,‎ 1989, p. 228–274 (DOI 10.1016/0097-3165(89)90032-0), lien Math Reviews
(en) Mikhail J. Atallah, « Some dynamic computational geometry problems », Computers and Mathematics with Applications, vol. 11,‎ 1985, p. 1171–1181 (DOI 10.1016/0898-1221(85)90105-1), lien Math Reviews
(en) H. Davenport et Andrzej Schinzel, « A combinatorial problem connected with differential equations », American Journal of Mathematics, The Johns Hopkins University Press, vol. 87, n^o 3,‎ 1965, p. 684–694 (DOI 10.2307/2373068, lire en ligne), lien Math Reviews
(en) S. Hart et Micha Sharir, « Nonlinearity of Davenport–Schinzel sequences and of generalized path compression schemes », Combinatorica, vol. 6, n^o 2,‎ 1986, p. 151–177 (DOI 10.1007/BF02579170), lien Math Reviews
(en) M. Klazar, « On the maximum lengths of Davenport–Schinzel sequences », dans Contemporary Trends in Discrete Mathematics, vol. 49, American Mathematical Society, coll. « DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science », 1999, p. 169–178
(en) Péter Komjáth, « A simplified construction of nonlinear Davenport–Schinzel sequences », Journal of Combinatorial Theory, Series A, vol. 49, n^o 2,‎ 1988, p. 262–267 (DOI 10.1016/0097-3165(88)90055-6), lien Math Reviews
(en) R. C. Mullin et R. G. Stanton, « A map-theoretic approach to Davenport-Schinzel sequences. », Pacific Journal of Mathematics, vol. 40,‎ 1972, p. 167–172 (lire en ligne), lien Math Reviews.
(en) Gabriel Nivasch, « Improved bounds and new techniques for Davenport–Schinzel sequences and their generalizations », dans Proc. 20th ACM-SIAM Symp. Discrete Algorithms, 2009 (lire en ligne), p. 1–10, arXiv:0807.0484
(en) D. P. Roselle et R. G. Stanton, « Some properties of Davenport-Schinzel sequences », Acta Arithmetica, vol. 17,‎ 1970/71, p. 355–362, lien Math Reviews.
(en) Micha Sharir et Pankaj K. Agarwal, Davenport–Schinzel Sequences and Their Geometric Applications, New York, Cambridge University Press, 1995, 1^re éd., 372 p. (ISBN 978-0-521-47025-4, LCCN 94030889, lire en ligne).
(en) R. G. Stanton et P. H. Dirksen, « Davenport-Schinzel sequences. », Ars Combinatoria, vol. 1, n^o 1,‎ 1976, p. 43–51, lien Math Reviews.
(en) R. G. Stanton et D. P. Roselle, « A result on Davenport-Schinzel sequences », dans Combinatorial theory and its applications, III (Proc. Colloq., Balatonfüred, 1969), Amsterdam, North-Holland, 1970, p. 1023–1027, lien Math Reviews.
(en) Ady Wiernik et Micha Sharir, « Planar realizations of nonlinear Davenport–Schinzel sequences by segments », Discrete & Computational Geometry, vol. 3, n^o 1,‎ 1988, p. 15–47 (DOI 10.1007/BF02187894), lien Math Reviews

Voir aussi modifier

Article connexe modifier

Mot sans facteur carré

Liens externes modifier

(en) Eric W. Weisstein, « Davenport-Schinzel Sequence », sur MathWorld.
(en) Davenport-Schinzel Sequences, partie du livre Motion Planning, de Steven M. LaValle.

Portail des mathématiques

[1] Atallah 1985 ; Sharir et Agarwal 1995, p. x et 2.

[2] Voir Sharir et Agarwal 1995, p. 1, pour cette notation.

[3] Sharir et Agarwal 1995, p. 14

[DS12-4] {a et b} Sharir et Agarwal 1995, p. 6

[5] Sharir et Agarwal 1995, chapitre 2, p. 12-42 ; Hart et Sharir 1986 ; Wiernik et Sharir 1988 ; Komjáth 1988 ; Klazar 1999 ; Nivasch 2009.

[6] Sharir et Agarwal 1995, chapitre 4, p. 86-114 ; Wiernik et Sharir 1988.

[high-order-7] {a et b} Sharir et Agarwal 1995, chapitre 3, p. 43-85 ; Agarwal, Sharir & Shor 1989; Nivasch 2009.

[8] Roselle et Stanton 1970/71.

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