Spectre de dommages par fatigue

Un Spectre de Dommages par Fatigue (SDF) représente la sévérité d'une vibration aléatoire en terme d'endommagement par fatigue. Il est obtenu en évaluant l'endommagement causé par la-dite vibration aléatoire sur un système oscillant à un degré de liberté (ou système 1DDL) en fonction de sa fréquence propre et pour un amortissement donné. Ce spectre est analogue au Spectre de Réponse Extrême (SRE) qui renseigne quant-à-lui sur la plus grande réponse en accélération du système 1DDL plutôt que sur l'endommagement.

Le SDF est particulièrement utilisé pour comparer la sévérité de vibrations, pour identifier les points faibles de structures mécaniques ou pour réaliser des spécifications d'essais vibratoires.

Construction d'un spectre de dommages par fatigue

Un spectre de dommages par fatigue peut se construire de manières différentes, soit dans le domaine temporel (c'est-à-dire en en faisant appel à des fonctions du temps), soit dans le domaine fréquentiel. Ce dernier est souvent privilégié au domaine temporel car il permet des temps de calcul bien plus faibles. Il n'est néanmoins compatible qu'avec un certain type de vibrations tandis que la méthode temporelle est universelle.

Domaine fréquentiel

La construction d'un Spectre de Dommages par Fatigue ne peut se faire que si le signal étudié est stationnaire gaussien . La propriété de stationnarité implique que les propriétés statistiques de la vibration, telles que sa valeur moyenne, sa valeur efficace ou encore ses moments statistiques doivent être indépendant du temps. Dans le cas contraire, sa distribution fréquentielle serait variable et le SDF associé à la vibration ne serait valable qu'à un instant donné. Pour qu'un signal soit gaussien, la distribution statistique de ses extrema doivent suivre une loi gaussienne, c'est-à-dire une loi normale de valeur moyenne nulle.

Sous ces hypothèses, il est possible de calculer la Densité Spectrale de Puissance (DSP) de la vibration étudiée. C'est sous cette forme que la vibration est analysée dans le domaine fréquentiel.

Réponse efficace d'un système 1DDL

Considérons un système oscillant à un degré de liberté. Dans le domaine fréquentiel, la réponse relative en déplacement de ce système est liée à l'accélération d'excitation par une fonction de transfert de module:

$|H(f)|={\dfrac {1}{4.\pi ^{2}.f_{0}^{2}}}.{\dfrac {1}{\sqrt {4.\xi ^{2}.(f/f_{0})^{2}+(1-f/f_{0})^{2}}}}$

Où $f$ est la fréquence d'étude, $f_{0}$ la fréquence propre du système, et $\xi$ son amortissement.

Démonstration

Soit un système 1DDL de masse $m$, de raideur $k$ et de dissipation $c$.

On considère $z$ le déplacement relatif de réponse du système, ${\dot {z}}$ sa vitesse relative et ${\ddot {z}}$ son accélération relative. On considère également une accélération d'excitation ${\ddot {x}}$. L'utilisation du Principe fondamental de la dynamique conduit à l'expression du mouvement d'un système 1DD:

$m.{\ddot {z}}+c.{\dot {z}}+k.z=-m.{\ddot {x}}$

L'écriture de cette expression dans le domaine de Laplace de variable $p$ donne:

$Z.[p^{2}.m+p.c+k]=-m.{\ddot {X}}$

On obtient ainsi la fonction de transfert $H$ du système 1DDL qui lie l'accélération d'excitation au déplacement relatif:

$H={\dfrac {Z}{\ddot {X}}}={\dfrac {-1}{p^{2}+{\dfrac {c}{m}}.p+{\dfrac {k}{m}}}}$

En notant $\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}$ et $\xi ={\dfrac {c}{2.{\sqrt {k.m}}}}$, on peut réécrire $H$ sous sa forme canonique:

$H={\dfrac {-1}{p^{2}+2.\xi .\omega _{0}.p+\omega _{0}^{2}}}$

Le module de cette fonction de transfert, noté $\mid H\mid$ s'obtient en calculant la norme de H et en remplaçant $p$ par le nombre complexe $j.\omega$. On obtient alors:

${\begin{aligned}\mid H\mid &={\dfrac {\mid -1\mid }{\mid (j.\omega )^{2}+2.\xi .\omega _{0}.j.\omega +\omega _{0}^{2}\mid }}\\&={\dfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}.{\dfrac {1}{\sqrt {4.\xi ^{2}.(\omega /\omega _{0})^{2}+(1-\omega /\omega _{0})^{2}}}}\end{aligned}}$

sachant que $\omega _{0}=2.\pi .f_{0}$ et que $\omega =2.\pi .f$, on trouve bien:

$\mid H\mid ={\dfrac {1}{4.\pi ^{2}.f_{0}^{2}}}.{\dfrac {1}{\sqrt {4.\xi ^{2}.(f/f_{0})^{2}+(1-f/f_{0})^{2}}}}$

La Densité Spectrale de Puissance (DSP) de la réponse relative du système, notée $\Phi _{r}$ peut alors s'exprimer à partir de la fonction de transfert $H$ et de la DSP d'excitation $\Phi _{e}$ , c'est-à-dire la vibration étudiée:

$\Phi _{r}=|H|^{2}.\Phi _{e}$

La valeur efficace $z_{eff}$ de la DSP de réponse du système peut ensuite être estimée:

$z_{eff}={\sqrt {\int _{0}^{+\infty }\Phi _{r}(f)\ \mathrm {d} f}}$

Calcul d'endommagement

Bien qu'il existe plusieurs formulations de l'endommagement, la plus utilisée pour la construction des SDF est la formulation dite d'approximation bande étroite. L'utilisation de cette formulation ne peut néanmoins se faire que sous les hypothèses d'un système linéaire travaillant dans le domaine élastique. Par ailleurs, la formulation bande étroite fait appel à la règle de cumul linéaire des dommages de Palmgren-Miner et la loi de Basquin pour modéliser la courbe d'endurance du matériau. On a alors:

$D=n_{0}^{+}.T.{\dfrac {K^{b}}{C}}.({\sqrt {2}}.z_{eff})^{b}.\Gamma {\big (}1+{\dfrac {b}{2}}{\big )}$

Avec $T$ le temps de sollicitation, $K$ le coefficient élastique déplacement / contrainte, $b$ et $C$ les paramètres de Basquin (respectivement l'exposant et la constante), $\Gamma$ la fonction Gamma et $n_{0}^{+}$ la fréquence de franchissement du zéro par pente positive, aussi appelé fréquence centrale:

$n_{0}^{+}={\dfrac {1}{2.\pi }}.{\sqrt {\dfrac {m_{2}(\Phi _{r})}{m_{0}(\Phi _{r})}}}$

où $m_{0}$ et $m_{2}$ sont respectivement les moments spectraux d'ordre 0 et 2 de la DSP de réponse $\Phi _{r}$ .

Démonstration

En faisant l'hypothèse d'un signal en bande étroite, c'est-à-dire presque sinusoïdal, le nombre d’extrema est supposé égal au nombre moyen de passages par zéro du signal, noté $N_{0}$ qui peut s'écrire:

$N_{0}=2.n_{0}^{+}.T$

où $n_{0}^{+}$ et le nombre de passages par zéro en pente positive. En conséquence, le nombre moyen de demi-cycles $\mathrm {d} n$ d'amplitude comprise entre une contrainte $s(t)$ et $s(t)+\mathrm {d} s(t)$ vaut:

$\mathrm {d} n=2.n_{0}^{+}.T.p[s(t)]\mathrm {d} s(t)$

où p[.] est la densité de probabilité d'apparition de pics de contrainte d'amplitude donnée.

Le dommage $\mathrm {d} D$ engendré par la sollicitation sur le système peut alors se modéliser à partir de la règle de Miner et du nombre de cycles à la rupture $N_{r}$ du matériau :

$\mathrm {d} D={\dfrac {1}{2}}.{\dfrac {\mathrm {d} n}{N_{r}}}=n_{0}^{+}.T.{\dfrac {p[s(t)]}{N_{r}}}.\mathrm {d} s(t)$

En intégrant l'expression en tenant compte de la loi de Basquin $N_{r}.s(t)^{b}=C$ et de la linéarité du système tel que $s(t)=K.z(t)$ avec $z(t)$ le déplacement relatif du système, on obtient:

$D=n_{0}^{+}.T.{\dfrac {K^{b}}{C}}.\int _{0}^{+\infty }z(t)^{b}.p[z(t)].\mathrm {d} z(t)$

Sachant que le signal est en bande étroite, il est possible d'utiliser la densité de probabilité de Rayleigh:

$p[z(t)]={\dfrac {z(t)}{z_{eff}}}.\exp {\big (}{\dfrac {-z(t)^{2}}{2.z_{eff}^{2}}}{\big )}$

En tenant compte du changement de variable $u={\dfrac {z^{2}}{2.z_{eff}^{2}}}$, on obtient l'expression du dommage sous l'approximation bande étroite:

$D=n_{0}^{+}.T.{\dfrac {K^{b}}{C}}.({\sqrt {2}}.z_{eff})^{b}.\Gamma {\big (}1+{\dfrac {b}{2}}{\big )}$

avec:

$\Gamma (x)=\int _{0}^{+\infty }u^{x-1}.\exp(-u)\mathrm {d} u$

L'expression bande étroite, également appelée "formulation de Rayleigh" du fait de l'utilisation de la loi de distribution éponyme, est celle utilisée par la norme AFNOR NF X50-144 pour exprimer les SDF. Elle présente en effet l'avantage principal d'être conservative quelle que soit la largeur de bande de la sollicitation étudiée. Cela signifie que l'endommagement calculé sera à minima égal sinon plus sévère que l'endommagement réel quel que soit la plage de fréquences de la vibration.

Notons que pour réaliser un Spectre de Dommages par Fatigue, il suffit de calculer l'endommagement $D$ pour différentes fréquences propres du système 1DDL.

Paramètres standardisés

Dans la majorité des cas, les SDF sont utilisés à des fins de comparaisons. Or, pour que la comparaison est un sens, les systèmes 1DDL utilisés pour leur élaboration doivent être identiques. L'AFNOR recommande ainsi des paramètres standardisés et un système 1DDL étalon dont les propriétés sont les suivantes:

• Les coefficients de proportionnalité $K$ et $C$ sont pris unitaires;
• L'exposant $b$ de la loi de Basquin est pris égal à 8 lorsque l'on considère des matériaux métalliques;
• L'amortissement $\xi$ est pris égal à 5%;
• La durée d'application $T$ est prise unitaire.