Sous-espace projectif
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En géométrie projective, un sous-espace projectif est une partie remarquable d'un espace projectif. Il est défini comme le projeté d'un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel associé. Contrairement à ce qui se passe en géométrie affine, il n'y a pas de phénomène de parallélisme, ce qui donne des propriétés simples d'incidence en termes de dimensions.
Définition modifier
On suppose que est un espace vectoriel, l'espace projectif associé et l'application de projection de sur .
Sous-espaces, dimension modifier
Si est un sous-espace vectoriel non réduit à , on peut encore définir l'espace projectif associé sur . On peut également considérer le sous-ensemble de formé par les tels que , c'est-à-dire l'image . Ces deux modes d'introduction sont équivalents et permettent de définir la notion de sous-espace projectif.
Lorsque le sous-espace vectoriel est de dimension k+1, on dit que le sous-espace projectif associé est de dimension k. Avec cette convention, les sous-espaces vectoriels de E de dimension k + 1 sont en correspondance bijective avec les sous-espaces projectifs de P(E) de dimension k[1]. En particulier on appellera droite projective de un sous-espace obtenu à partir d'un plan vectoriel de , mais hyperplan projectif tout sous-espace projectif défini à partir d'un hyperplan vectoriel.
Dans le cas où l'espace vectoriel est défini sur le corps des réels, est en fait une sous-variété de , effectivement de dimension k.
Sous-espace engendré par une partie modifier
Pour toute partie de on peut définir le sous-espace projectif engendré par , comme le plus petit sous-espace projectif de contenant ; on le notera .
Il correspond au sous-espace vectoriel engendré par l'image réciproque de par la projection canonique :
Opérations sur les sous-espaces projectifs modifier
Si et sont des sous-espaces projectifs de , l'intersection est un sous-espace projectif correspondant au sous-espace vectoriel de : .
D'autre part l'union de deux sous-espaces projectifs n'est pas en général un sous-espace projectif mais on peut considérer le sous-espace projectif engendré par et , qui correspond au sous-espace vectoriel somme : .
Propriétés d'incidence modifier
Les premières propriétés des espaces projectifs s'expriment en termes d' incidence : les résultats sont beaucoup plus clairs que dans le cas vectoriel.
Pour tout couple de sous-espaces projectifs de dimensions finies on a la relation fondamentale :
.
Alors que dans le cas d'un espace affine on a seulement inégalité (voir formule de Grassman).
Application fondamentale de ce résultat : si est un plan projectif, et si et sont des droites projectives, on obtient . Or l'espace somme est inclus dans , donc de dimension inférieure ou égale à 2. On obtient , c'est-à-dire que deux droites du plan projectif ont toujours au moins un point commun, le point à l'infini.
Autrement dit il n'y a pas de droites parallèles dans un plan projectif, et plus généralement pas de notion de parallélisme en géométrie projective. On voit ici le progrès par rapport à la géométrie affine : la géométrie projective va nous permettre d'éliminer de nombreux cas particuliers dus au parallélisme.
Notes et références modifier
- Michèle Audin, Géométrie, EDP Sciences, (lire en ligne), p. 179.
