Représentation fidèle

En mathématiques, en particulier en théorie des représentations, une représentation fidèle ρ d'un groupe $G$ sur un espace vectoriel $V$ est une représentation linéaire dans laquelle différents éléments $g$ de $G$ sont représentés par des applications linéaires distinctes $ρ (g)$ . En langage plus abstrait, cela signifie que le morphisme de groupe $\rho :G\to GL(V)$ est injectif (et éventuellement bijectif).

Mise en garde modifier

Alors que les représentations de $G$ sur un corps $K$ peuvent de facto être identifiés aux modules sur l'algèbre de groupe $K [G]$ du groupe $G$ , une représentation fidèle de $G$ n'est pas nécessairement un module fidèle pour le groupe algèbre. Si chaque $K [G]$ -module fidèle est une représentation fidèle de $G$ , la réciproque n'est pas vraie. Considérons par exemple la représentation naturelle du groupe symétrique $S n$ de dimension $n$ par des matrices de permutation, qui est clairement fidèle. En revanche, l'algèbre de groupe est de dimension $n!$ , qui est l'ordre du groupe, tandis que l'espace des matrices $n \times n$ est de dimension $n 2$ . Dès que $n$ vaut au moins 4, la comparaison des dimensions ( $n! > n ²$ ) montre que l'application $K [G] \to Mat n (K)$ n'est pas injective ; autrement dit, le module sur l'algèbre de groupe n'est pas fidèle.

Propriétés modifier

Une représentation $V$ d'un groupe fini $G$ sur un corps algébriquement clos $K$ de caractéristique zéro est fidèle (en tant que représentation) si et seulement si toute représentation irréductible de $G$ apparaît comme une sous-représentation de la $n$ -ième puissance symétrique $S n V$ pour $n$ assez grand. Par ailleurs, $V$ est fidèle (toujours en tant que représentation) si et seulement si toute représentation irréductible de $G$ apparaît comme une sous-représentation de la $n$ -ième puissance tensorielle

V^{\otimes n}=\underbrace {V\otimes V\otimes \cdots \otimes V} _{n{\text{ times}}}

pour $n$ assez grand^[1].

Références modifier

↑ William Burnside, Theory of groups of finite order, New York, Dover Publications, Inc., 1955, 2^e éd., théorème IV du chapitre XV.

(en) A. I. Shtern, « Faithful representation », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)

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[1] William Burnside, Theory of groups of finite order, New York, Dover Publications, Inc., 1955, 2^e éd., théorème IV du chapitre XV.

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